Simetri Öğretimi

Özet: Bu çalışmada Gerçekçi Matematik Eğitimi (Realistic Mathematics   Education – RME) ın ne olduğu kısaca tanıtılmış ve bu yaklaşım esas alınarak 7. sınıf programında yer alan simetri öğretimi deneysel olarak gerçekleştirilmiştir.

1. GİRİŞ

Matematiğin kültürel, sosyal ve teknolojik gelişmelere yapabileceği katkının ne ölçüde olabileceği, matematikten daha etkin şekilde nasıl yararlanılabileceği düşüncesi toplumları matematik öğretimi ile ilgili yeni arayışlara yöneltmiştir.

Öğrenme ve öğretme esasta psikolojik bir problemdir. Matematik öğretiminde gelişme sağlamanın yolu, onun insan tarafından nasıl öğrenildiğinin bilinmesine bağlıdır (Skemp, 1986). Matematik öğretiminde yeni yaklaşımlardan biri de “Gerçekçi Matematik Eğitimi” (RME) dir. Bu yaklaşım Hans Freudenthal tarafından geliştirilmiştir.

Bu çalışmada “Gerçekçi Matematik Eğitimi” (Realistic Mathematics Education-RME) ın ne olduğu kısaca tanıtılmış ve bu yaklaşım esas alınarak 7. sınıf programında yer alan simetri öğretimi deneysel olarak gerçekleştirilmiştir.

2. GERÇEKÇİ MATEMATİK EĞİTİMİ

RME’nin kurucusu Hollandalı matematik eğitimcisi Hans Freudenthaldir. Freudenthal’e göre Matematik Öğretimi, matematik yapma şeklinde olmalıdır. Matematik öğrenilmesi gereken kapalı bir sistem, bir konu olmayıp bir insan aktivitesidir ve gerçekle bağlantısı olmak zorundadır. Eğer mümkünse matematik hayatın bir gerçeği olarak matematik yapma şeklinde öğrenilmelidir.

Freudenthal’ in  RME için ana ilke olarak benimsediği matematikleştirme, matematik içinde bir seviye yükselmesidir. Matematikte seviye yükseltme matematiksel aktivitede bulunmakla gerçekleşir. Freudenthal,  “Matematiksel aktiviteyi konusu matematikten veya gerçek hayattan olan bir problem için çözüm arayışı, çözüm için düzenlemenin yapılması” olarak açıklıyor (Graveimeijer, 1994 ). Seviye yükselmesi, genelleştirme, kesinlik, doğruluk ve kısalık gibi matematiksel özelliklerin oluşması ile ortaya çıkar.  Buradaki kavramlarda  genelleştirme ile; benzerlikleri  ve yapıları inceleyerek genel bir düşünceye varma, kesinlik ile; sistematik yaklaşımlar kullanmak, tahminleri test etmek suretiyle düşünme ve ispatlama, doğruluk ile; yorumları sınırlandırarak modelleme ve tanımlama, kısalık ile; standart prosedürler ve notasyonlar geliştirmek suretiyle sembolleştirme ve şematize etme anlatılmaktadır.

Öğretici açısından bakıldığında RME ‘de  matematikleştirme, genelleştirmeyi  ve formalize etmeyi içerir. Formalize etme modelleme, sembolleştirme ve şematize etmek sureti ile olur. Formalize etme genel bilginin tasarlanmış uygulamalarından ziyade ilişkilerin yapılarını işaret eder. Öğrenci açısından bakıldığında genelleştirme ve formalize etme  işin merkezi değildir.

RME’nin anahtar ilkeleri şöyle özetlenebilir.

Birincisi yönlendirilmiş keşfetme ve matematikleştirmeyi geliştirmedir. Bu ilke çerçevesinde öğrencilere, matematiğin icat edilmesine benzer bir yöntemi ya da çalışmayı denemeleri için fırsat verilmelidir. Bunun için matematik tarihi esin kaynağı olarak kullanılabilir. Yönlendirilmiş keşif ilkesi informal çözümlerden yola çıkılarak uygulanabilir. Öğrencilerin informal stratejilerinin yorumu formal stratejilere giden bir yol olarak ele alınabilir. Bu ilkenin iyi kullanımı için, gelişmiş matematikleştirmeye ulaşacak şekilde çevresel problemlerin bulunmasına ihtiyaç vardır.

İkincisi didaktik fenomonoloji (olay bilim) ile ilgilidir. Didaktik fenomonoloji matematik kavramların analizini yapmak suretiyle onun nasıl oluştuğunu açıklayabilmektedir. Çevre problemleri uyarıcı olmakta ve kavram sürecin yeniden keşfi ile kazanılmaktadır. Didaktik fenomonolojiye göre matematik konular işlenirken iki nokta önemlidir. Bunların birincisi öğretim için tasarlanmış konuların uygulamaları, ikincisi bu uygulamaların matematikleştirmeye uygunluğunun göz önüne alınmasıdır. Eğer biz matematiğin, tarihsel olarak pratik problemlerin çözümlerinden elde edildiğini (geliştiğini) anlarsak, günümüzdeki uygulamalardan  da bu yaklaşımla matematik üretilebileceğini umabiliriz. Sonra değişik durumlarla ilgili kavram ve problem çözme stratejilerinin genelleşmesinin ve formalleşmesinin gerçekleşeceğini tasarlayabiliriz. Bundan ötürü fenomonolojik tartışmanın amacı, genelleştirilebilecek özel durumlar için problem durumlar bulmak ve yine dikey matematikleştirmeye taban olabilecek örnek çözüm prosedürlerini akla getiren ortamlar yaratmaktır (Gravemeijer, 1994 ).

Üçüncü ilke informal matematik bilgi ile formal matematik bilgi arasında köprü rolü üstlenerek kendi kendine gelişen modellere yer vermektir. RME’de modeller öğrenciler tarafından geliştirilir. Bunun anlamı öğrencilerin problem çözme için model geliştirmeleridir. Kendileri geliştirdikleri için bu model öğrencinin alışık olduğu bir modeldir. Genelleştirilip formalize edildiğinde, model sonunda matematiksel düşünmede  kullanılması mümkün bir model olur. Freudenthal, insan zihninin matematik bilgiyi nasıl elde ettiği  ile ilgilenmiş ve bunun ilk basamağının gerçek hayattan problemlerle ilgilenmenin oluşturduğunu, genellemelerin farkedilmesi, notasyonların kullanılması, ve son olarak pratik problemlere tekrar dönülerek çözüm prosedürlerinin algoritmalarının elde edilmesi şeklinde bir sıra izlediğini açıklamıştır. Bu yaklaşımda uygulamada formal sisteme varılmış olmaktadır. Bu bakımdan geleneksel sistemdeki önce formal sistemin öğretilmesi, arkasından uygulamaların yapılması şeklindeki öğretimi anti-didaktiktir.  Freudenthal ‘in temel dayanağı fenomonolojiyi temele alan zihinsel objelerin yasası dır.

Gerçekçi Matematik Öğretimi’nde matematik bir insan aktivitesi olarak algılandığı için problem çözme başka bir anlam kazanmakta, matematiksel araçların kullanılmasından ziyade problem merkez olmakta veya amaç olmaktadır. RME’ de önceden düzenlenmiş bir sistemi kullanmak yerine, öğrenci problem durumdaki merkezi ilişkileri tanımlama yada şematize etmek sureti ile problemi tanımlamaya çalışır. Bu tanımlama kendi tasarladığı sembolleri kullanmak sureti ile olur.  Bu tanımlama hemen probleme cevap vermez, fakat semboller problem çözücü için anlamlı olduğundan yorumu kolaylaştırır. Bu tür bir problem öğrenciye çevre problemini matematikleştirme bakımından bir fırsat verir.

Bu çalışmada, ilköğretim matematik programı 7.sınıftaki “doğruya göre simetri” konusu yukarıda açıklanan görüşler ve yaklaşıma göre yapılmıştır.

3. METOD

Bu çalışmada 7. sınıf programında yer alan simetri konusunun öğretimi için Gerçekçi Matemaitk Eğitimi’ ne göre bir ders planı hazırlanmış ve uygulanmıştır.

Simetri kavramı ile ilgili, ders kitaplarında doğruya göre simetri ve dönel simetri adıyla iki ana başlığa rastlanmaktadır. Bununla birlikte, 7. sınıf programında, doğruya göre simetri ve dönel simetrinin özel bir hali olan (dönme açısı 180°) noktaya göre simetriye yer verilmiştir.

Doğruya göre simetrinin öğretimi için uygulama sırasında RME nin ana ilkeleri göz önüne alınarak iki temel model üzerinde çalışılmıştır. Bu modellerin seçimi sırasında simetrik görüntüye sahip bir çok hayvan, bitki, el sanatları v.s resimleri incelenmiş, bunların arasından öğretimde kullanılmak üzere helikopter böceği ve bir kilim deseni seçilmiştir. Helikopter böceğinin seçiminde, simetri eksenini düşündürmek üzere uzun olan kuyruğu, çocukların hayvanlara olan sempatisi, desenin seçiminde ise kilimin günlük hayatta çok karşılaşılan bir şey olması, desenlerinin ana hatlarının kolay görünmesi etken olmuştur. Bu özellikleriyle her iki modelin simetri kavramının keşfi için uyarıcı olacağı, dolayısıyla simetri ile ilgili formal bilgiye ulaşmada etkin olacakları düşünülmüştür.

Öğretim sırasında ikişer kişilik öğrenci gruplarına ilk olarak Şekil 1’deki sol kanatlarının ¾ ü koparılmış olan helikopter böceği şekli verilerek bunların onarımı istenmiştir. Çalışmayı sürdürebilmeleri için öğrencilere kâğıt, kalem, boya kalemi, cetvel temin edilmiştir.

Öğrenciler hiçbir simetri bilgileri olmamasına rağmen çalışmaları zevkle sürdürmüş ve kırık kanatları onarmışlardır. Şekil 2 de bu çalışmadan bir örnek görülmektedir.

Bu çalışmaları nasıl yürüttüklerine ilişkin açıklamalardan, simetri kavramının farkında oldukları anlaşılmıştır. Bu çalışmanın yürütülmesi sırasında öğrencilerin zaman zaman cetvelle ölçüm yaptıkları, gruptaki iki kişiden daha iyi resim yapanın çizim görevini üstlendiği gözlenmiştir. Açıklamalarda “diğer kanatlara göre tamamladık, kanatlar dengeli olmalı, eşit olmalı” gibi sözler kullanmışlardır.

Araştırmacı bu iki çalışmanın arkasından doğruya göre simetri ile ilgili iki temel kavram olan simetri ekseni ve simetri eksenine uzaklık kavramlarını açıklamıştır. Böylece simetri ile ilgili formal bilgiye en son varılmış olmaktadır. Öğrenciler çalışma sırasında informal dil ve becerilerini rahatlıkla kullanabilmişlerdir. Alıştırma  çalışmaları sırasında ulaşılan tanım, kazanılan formal dil kullanılarak ve programın hedefleri göz önüne alınarak geleneksel eğitimdekine benzer alıştırmalara yer verilmiştir. Uygulamadan 20 gün sonra öğrencilere ilgili altı sorudan oluşan bir yazılı yoklama yapılmış, bu sınavda bilgi, kavrama ve uygulama düzeylerinde ikişer soru sorulmuştur. Sınav kâğıtları değerlendirilmiş ve başarı ortalaması 75, standart sapma 7 çıkmıştır. Bu sonuçların bir kontrol grubu ile karşılaştırılması imkanı bulunamamıştır.

4. SONUÇ

RME yaklaşımının simetri konusuna uygulanmasıyla ilgili bu deneme iyimser sonuçlar vermiştir. Öğrencilerin çalışma sırasındaki heyecanları, grup arkadaşlarıyla olan tartışmaları, arada hiçbir tekrara yer verilmediği halde bilgiyi muhafaza etmiş olmaları öğretimin etkililiğinin göstergesi sayılabilir.

Ülkemiz, RME’nin gerektirdiği öğrenme ortamlarının hazırlanabilmesi için kültürel yapı, tarih, coğrafya bakımından çok zengin bir ülkedir. Bu konuyla yakın ilgisi bakımından dönen simetrinin kazandırılmasında otomobil cantı veya cant kapaklarının bu çalışmaya benzer bir şekilde kullanılması uygundur. Her bir matematik konusunun formal kavramlarının kazandırılmasında öğrenciyi cesaretlendirecek ve yeniden keşfi teşvik edecek materyal bulmak oldukça kolaydır.

Öğretmen veya eğitim uzmanlarının bu tür çalışmalara yöneltilmesi ve bu tür çalışmaların çoğaltılmasının matematik başarısının artmasının yanı sıra matematiğe karşı tutumu olumlu yönde geliştireceği düşünülmektedir.

KAYNAKÇA

Billstein R, Libeskind S, Lott J., A Problem Solving Approach to Mathematics for Elementary School Teachers,  Addison- Wesley, 1996.

Böhm J., New Means of Mathmatics Teaching. Pedagogical Institute of Lower Austria Hollaburn, Austria.

Gravemeijer K., Developing Realistic Mathmatics Education Freudenthal Institute, Utrecht, 1994.

Hauvel- Panhuizen M., Assesment and Realistic Mathematics Education, Freudenthal Institute, Utrecht, 1996.

Skemp R., The psychology of learning Mathematics, Penguin Books Ltd. 27 Wrights Lane London W8 5 TZ. 1986.