DGY-CABRI ILE KÜBIK DENKLEMLERIN ÇÖZÜMÜ

Basligi :	DGY-CABRI ILE KÜBIK DENKLEMLERIN ÇÖZÜMÜ
Konu :	DGY-CABRI ILE KÜBIK DENKLEMLERIN ÇÖZÜMÜ
Yazar :	Doç.Dr. Adnan BAKI, Ars.Gör.Bülent GÜVEN
Tarih :	06.11.2004
E-mail :

Özet:  Eski Misir matematigi hakkindaki bilgilerimiz, zamanimiza kadar intikal Etmis papirüs ve parsömen tomarlari ile kil ve tahta tabletlere dayanmaktadir.Yaklasik olarak 3500 yil önce Misirlilar tarafindan yazilmis bir metinde(bugüne çeviriyle) sunlar yaziyordu: ‘Correct method of reckoning, for graspingthe meaning of things and knowing everything that is, obscurities . . . and all secrets.’ Eski Misirlilarin  kulladigi matematigin, o çaglarda var olan Çin, Babil uygarliklarinin kullandiklari matematikle kiyaslandiginda daha modern bir yapiya sahip oldugu sonucuna bu belgelerden elde edilen çeviriler ile varilmistir.

Eski Misirlilarin hesaplamalari bugünkü bilgilerimiz isiginda bile son derece

basariliydi. Misirlilar, özellikle ölçü, yüzey ve hacim hesaplamalarinda çok gelismis bir matematik bilgi birikimine sahiplerdi. Eski Misirlilar Nil Nehri çevresinde yerlesmislerdi ve hayatlari Nil Nehri’nin yükselme ve alçalmasina  bagliydi.Bu durumu sürekli ölçmek ve kontrol etmek  geregiyle yapilan  hesaplamalar ve  arazi ölçüleriyle Eski Misir’da aritmetik ve geometrik ilimler büyük gelisme göstermistir. Pi sayisina ait ilk bilgilere Eski Misirlilarin kullandiklari matematikte rastlanmistir. Misirlilar, yüzey ve hacim hesaplari yaparken, pi sayisina ait  yaklasik deger kullanmislardir. Papirüs metinlerinde, birçok aritmetik ve  geometrik esaslar ilmi bir sekilde konulmustur.Ancak Eski Misirlilar uygulamali matematikte  çok iyi olmalarina ragmen teorik matematikte fazla bir gelisme  gösterememislerdir. Örnegin, Çin ve  Babil uygarliklarinin Pisagor  Teoremi’nde  çok iyi çalismalari olmasina karsin, Eski Misirlilarin bu              teoremi bildiklerine dair hiç bir kanit bulunamamistir..

     Eski Misirlilarin Nil nehrinin alçalma ve yükselmesine bagli hesaplari  yaparken  kullandiklari kesirler  ve  ticaret sirasinda kulandiklari matematik onlari bazi yanlisliklara sürüklemistir. Buna nedenlerden biri  tam kesirler elde etmek için kullandiklari ilginç bir metottur. Bu makalede bu metotu açiklayip örnekleyecegiz.

Bu metot Eski Misirlilar tarafindan bulunmus, bati matematikçileri tarafindan

gelistirilmistir.

GIRIS

                Bilinen en eski sayma sistemlerinden biri, Eski Misirlilara ait olanidir. Eski Misirlilarin kullandiklari resim yazisinin (hiyeroglif) baslangiç tarihi, M.Ö. 3300 yilina kadar dayanir.Misirlilar, ortalama 5300 yil önce, milyona kadar olan sayilari kapsayan bir sistem gelistirmislerdir. Eski Misirlilara ait sayma sistemi, ilkçag magara insaninin önceleri kullandigi sayma sisteminin gelismis seklidir.

            Eski Misir matematigi hakkindaki bilgilerimiz, zamanimiza kadar intikal etmis papirüs tomarlarindan elde edilmektedir.Papirüsler, Nil Nehri boyunca yetisen yapraklarin uzun tabakalar halinde kesilip preslenip güneste kurumaya birakilmasiyla elde edilmislerdir.Kuruduklarinda katlanip depolanarak kullanima hazir hale gelmislerdir.Papirüsler Nil Nehrinin her iki yani çöl oldugundan kuru ortamda kolayca korunmuslardir. Bugün bu papirüsler; bilim tarihinde, M.Ö.1900-1800 yillari için adlandirilan, Kahun ve Berlin papirüsleri ile, M.Ö. 1700 ile 1600 yillari için adlandirilan Hiksoslar Devrinden M.Ö.1788-1580 kalma Rhind ve Moskova matematik papirüsleridir.Misirlilarin kullandigi matematik hakkindaki en eski kaynak, 1858 yilinda Henry Rhind’in Thebes’teki arastirmalarinda ortaya çikan ve Rhind Papirüsleri olarak adlandirilan papirüslerdir. Bu papirüsler 1864 yilindan itibaren Ingiliz Müzesi’nde sergilenmektedir.  Misir matematigi hakkindaki diger kaynaklar, birkaç parsömen tomari ile kil ve tahta tabletlere dayanmaktadir.

Eski Misir tabletleri Eski Misir insanlarinin matematigi nasil kullandiklari hakkinda bize bir çok bilgi verir.  En eski tabletlerden olan Rhind matemetik tabletlerinden anlasilan,  Misirlilarin  kullandiklari temel sayi sistemlerinin  bize çok benzer oldugu ancak  kullandiklari kesir kavraminin çok farkli oldugudur.

 Misirlilarin kesirleri ifade etme tarzlari günümüze oranla çok sinirli kalmistir. Misirlilar kesir ifadesi olarak 1/2,1/3,….1/n gibi bir notasyona sahiptiler.Ancak bu notasyon 2/5,3/4 gibi kesirleri dogrudan ifade etmeye yetmiyordu.Yalnizca birim kesir notasyonuna sahip olduklarindan birim kesir olmayan kesirleri ancak birim kesirlerin toplami seklinde ifade edebiliyorlardi.Bu ifadede ayirdedici olan özellik kullanilan bütün birim kesirlerin birbirinden farkli seçilmesiydi.Örnegin;

   3/4=1/2+1/4

   6/7=1/2+1/3+1/42

Basit olarak bir kesri tek bir sembol halinde degilde birim kesirlerin toplami halinde ifade sekli,misir kesir sayisinin özellikleri  sayilar teorisinde yeni çalismalara yol açmistir.

Misir Kesri

               Misir kesirlerini içeren temel problem, herhangi bir kesri sadece birim kesirlerin bir toplami olacak sekilde ifade eden bir algoritmanin olusturulmasiydi.  Yillarca çesitli amaçlar için birçok farkli algoritmalar gelistirildi.Bu algoritmalar kuramsaldan pratige dogru bir egim kazandi.

            Herhangi bir rasyonel sayi, birden fazla misir kesrinin kullanilmasi ile ifade edilir:

          Eger a/b kesri için,

            a/b = 1/x1 +1/x2+… +1/xn

ise

            1/x = 1/(x+1) +1/(x(x+1))

denklemi

            a/b = 1/x1 + … + 1/(xn-1)+1/(xn+1)+1/(xn(xn+1))

denklemini elde etmek için kullanilabilir.

             Bu basit mantik Eski Misirlilarin kesir ifadesinin temelini olusturuyordu.Örnegin;

            2/4=1/4+1/4

            1/4=1/5+1/(4(4+1))

            2/4=1/4+1/5+1/20

Ayirma Metodu (misir kesri algoritmasi)

                Birim kesir açiliminin gelistirimesindeki en kullanissiz algoritma ayirma metodudur. Temel olarak ayirma iliski denklemi denilen

            1/x = 1/(x+1) +1/(x(x+1))

esitsizligi kullanilir ve islevi söyledir;

            p/q rasyonel sayisi birden küçük verildiginde, ilk olorak p/q rasyonel sayisi 1/q birim kesirlerinin p toplami olarak yazilir. (p/q=1/q+1/q+….+1/q) Sonra açilimda tekrarli halde bulunan 1/q kesirlerinin yalnizca bir tanesi hariç diger tekrarlarin herbiri ayirma kurali uygulanarak kaldirilir.Bu isleme toplam ifadesindeki bütün birim kesirler birbirinden farkli oluncaya kadar devam edilir.Son olarakta açilimdaki paydalarda tekrarlar olmiyacak sekilde ifade yediden düzenlenir.

Örnegin, 3/7 sayisi için

                        3/7 =  1/7 + 1/7  +1/7

                              =  1/7 + ( 1/8 + 1/56) + ( 1/8 + 1/56)

                              =  1/7 + 1/8 +  1/8 + 1/56 + 1/56

                              =  1/7 + 1/8 +  (1/9 + 1/72)  + 1/56 + ( 1/57 + 1/3192)

                              =  1/7 + 1/8 +  1/9 + 1/56 + 1/57 +1/72  + 1/3192

Bu yöntemin daima dogrulugu açiktir.

Özel Durumlar:

Misirlilar temelde toplama islemini kullanarak çarpma ve bölme islemlerini yapmislar ve bu islemleri misirli kesri ifadesinde kullanmislardir.

1/n (n bir tamsayi olmak üzere) kesrini birim kesirlerin toplami olarak yazarken;

1.metot: 1/n=1/2n+1/2n

               1/n=1/3n+1/3n+1/3n   ayirmalarini kullanmislardir.

    Örnegin  1/5=1/10+1/10

                   1/2=1/6+1/6+1/6

Ancak birinci metot misir kesrini tam olarak istendigi sekliyle ifade edemez.Çünkü misir kesrinde ayiredici özellik toplam ifadesindeki birim kesirlerin birbirinden farkli olmasidir.Dolayisiyla birinci metoda ek olarak ikinci ve üçüncü metotlar gelistirilmistir.

2.metot: 1/2n=1/n·(1/3+1/6)

  n=3 için 1/6=1/3·(1/3+1/6)=1/9+1/18

  n=4 için 1/8=1/4·(1/3+1/6)=1/12+1/24

  ……………………………………………………..

2.metotta dikkat edilirse payda her zaman çift sayidir.Paydasi tek sayi olan birim kesirleri ifade edebilmek için 3.metot gelistirilmistir.

3.metot:1/p=1/p·1=1/p·(1/2+1/3+1/6)

n=3 için 1/3=1/3·(1/2+1/3+1/6)=1/6+1/9+1/18

n=5 için 1/5=1/5·(1/2+1/3+1/6)=1/10+1/15+1/30

…………………………………………………………………….

Batili matematikçiler bu yöntemi esas alarak  daha gelismis algoritmalar olusturmuslardir. Bunlardan biri olan  Fibonacci-Sylvester Algoritmasi’ni sunalim:

Fibonacci-Sylvester Algoritmasi

Misir kesri algoritmasina göre daha kullanisli bir algoritmadir. 1202 yilinda Fibonacci tarafindan olusturulmus, 1880 yilinda Sylvester tarafindan gelistirilmistir. Algoritmayi Fibonacci kullanmis ancak dogrulugu 1880 yilinda Syvester tarafindan  ispatlanmistir.

Algoritma söyle isler:

Birden küçük p/q rasyonel sayisi için, ilk olarak p’=p ve  q’=q olsun. Eger p’=1 ise  p’/q’ açilimin bir parçasi olurki burada yapilmasi gereken hiçbir sey yoktur.Ifade zaten birim kesir halindedir.

 Aksi takdirde  r sayisi p’ sayisindan küçük olacak sekilde q’=sp’+r yi elde etmek için bölme algoritmasini kullaniriz. Böylece

                        p’/q’=1/(s+1) + (p’-r)/(q'(s+1))

olur ki 1/(s+1) açilimin bir bölümünü olusturur. Sonra p’=p’-r ve q’=q'(s+1) alinmasiyla p’/q’ en küçük terime indirgenir.

Örnegin,

3/7                                      p=p’,q=q’,q’=sp’+r olacak sekilde s=2,r=1

3/7 = 1/3 + 2/ 21                 p’=2,q’=21,q’=sp’+r olacak sekilde s=10,r=1

      = 1/3 + 1/ 11 + 1/ 231

Fakat payda çok fazla büyüdügü zaman ortaya kötü durumlar da çikar. Örnegin,

5/121  = 1/ 25 + 1/ 757 + 1/ 763309 + 1/ 873960180912 +

              1/1527612795642093418846225

Golomb’un Algoritmasi

     Golomb p/q rasyonel sayisini birkaç birim kesrin toplami olarak ifade etmek için kullanilan basit bir algoritma tanimlamistir. Bu algoritmaya göre, birden küçük p/q rasyonel sayisi verildiginde,  p’=p ve  q’=q degisken degistirmesi yapilir. Sonra eger p’=1 ise  p’/q’ açilimin bir parçasi olur ki burada yapilmasi gerekli hiçbir sey yoktur.  0 < p” < q’ ve p’p” = q’r+1 olacak sekilde p” olusturulur. Burada p”, q’ moduna göre p’ nin çarpmaya göre tersidir. Dikkat edelim ki

            p’/q’ = 1/(p”q’) + r / p”

dir ve

            1/(p”q’)

açilimin bir kismidir. q’ = p” ve p’ = r alinarak yukaridaki islemler tekrarlanir.

Örnegin,

                        3/7                                                   p’=3,q’=7,p”=5,r=2

                        3/7   =  1 / 35  +  2 / 5                      p’=2,q’=5,p”=3,r=1

                                =  1 / 35  +  1 / 15  +  1 / 3

Pratik Sayilar

Eger p sayisi q sayisinin bölenlerinin bir toplami olarak yazilabilirse, p/q sayisi q sayisinin paydasindan daha büyük olmayan sayilarin toplami olarak ifade edilebilir. Örnegin, 9/20 sayisini açmak istiyorsak 4 ve 5 sayilari 20 sayisinin bölenleri oldugundan

            9 / 20  =  (4+5) / 20  =  1 / 5  +  1 /  4

olarak yazilir.

            Böylece pratik sayilari söyle tanimlayabiliriz:

Tanim: Bir pratik sayi  bir N tamsayisidir öyleki n < N için, n sayisi N sayisinin farkli bölenlerinin toplami olarak yazilabilir.

Örnegin, 5/23 sayisini ifade etmek için 12 sayisinin pratik sayi olusunu kullanalim.                                       5 / 23 = 5·12 / 23·12 yazabiliriz.

23  <  2·12  ve  12  sayisi pratik sayi oldugundan  23·12 sayisi da pratik sayidir.  5·12 sayisi   23·12 sayisinin farkli bölenlerinin toplami olarak yazilabilir.
5·12 / 23·12 = (46 + 12 + 2) / 23·12 = 1 / 6  +  1 / 23 + 1 / 138

Bu algoritmanin isleyisi,  pratik sayilarin çok fazla böleni oldugu için yavas olabilir.

Ikili Algoritma

                Eger N=2^n ise  m < N sayisi N sayisinin farkli bölenlerinin toplami olarak yazilabilir. Gerçekten  m sayisi, n sayisi veya daha küçük bölenlerin toplami olarak yazilir.Çünkü 2^n sayisinin 2^0, 2^1, 2^2,., 2^(n-1) olacak sekilde n tam böleni vardir.

Örnegin

                                   5 / 16 = (1 + 4) / 16  =  1 / 16 + 1 / 4

Bunlarin disinda batili matematikçiler tarafindan Bleicher/Erdös Algoritmasi, Goldbach’s  Algoritmasi, Yokota Algoritmasi, Tenenbaum/Yokota  Algoritmasi, “Optimal”  Pratik Sayi Algoritmasi, Faktor Algoritmasi, Farey Serileri  Algoritmasi,  Devam eden kesirler Algoritmasi  Misir kesir algoritmasi temel alinarak yaratilmistir.

 Sonuç

Misir kesri 1/p ve 1/pq sayilarinin açilimini kolayca yapar.  Misir kesri matematik ve tarih  konularini arastiran ögrenciler için birçok kolayliklar ve en azindan bir baslangiç saglar.

Misir kesri eski zamanda kullanildigi zaman birçok yarar saglamis ama günümüzde yeterli olmamistir.Bundan dolayi da günümüzde Misir kesri temel alinarak birçok algoritmalar ve yeni metotlar kesfedilmis,kullanimda yeni metotlar tercih edilmistir.

KAYNAKLAR

[1]. Breusch, R. “A Special Case of Egyptian Fractions,” American mathematical Monthly 61 (1954) 200-201.

[2]. Brown, Kevin (2001) personal Homepage,  http://www.mathpages.com/home/rhind.htm.

[3]. Burshtein, Nechemia. “On Distinct Unit Fractions Whose Sum Equal 1,” Discrete Mathematics 5 (1973) 201-206

[4]. Eppstein, David (2001) personal Homepage http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt.

[5]. Guy, Richard. “Egyptian Fractions,” in Unsolved Problems in Number

Theory, Section D11. Springer-Verlag, 1980.

[6]. Stewart, B. M. “Egyptian Fractions,” in Theory Of Numbers. pp. 198- 207. The Macmillan Company, 1964.

[7]. Straus E. G. and Subbarao M. V. “On the Representation of Fractions as Seventh Manitoba Conference on Numerical Mathematics and Computing. pp. 561-579. Utilitas Mathematica Publishing Inc., 1978.

[8] . Sylvester, J. J. “On a Point in the Theory of Vulgar Fractions,” American Journal of Mathematics 3 (1880) 332-335.

[9]. Tenenbaum, G. and Yokota, H. “Length and Denominators of Egyptian Fractions, III,” Journal of Number Theory 35 (1990). 150-156

[10]. Yokota, H. “On a Conjecture of M. N. Bleicher and P. Erdös,” Journal of Number Theory 24 (1986) 89-94.

[11]. Yokota, H. “Length and Denominators of Egyptian Fractions,” Journal

of Number Theory 24 (1986) 249-258.