ÖGRENCILERIN CEBIRSEL SÖZEL PROBLEMLERI DENKLEM OLARAK YAZARKEN KULLANDIKLARI STRATEJILERIN BELIRLENMESI

Özet:Cebirsel sözel problemler, matematik müfredatinin önemli bilesenlerindendir. Cebirsel sözel problemlerin ögrenimi, aritmetikten cebire geçis için bir kolaylik saglamaktadir. Ancak, yapilan arastirmalar her düzeydeki ögrencilerin cebirsel sözel problemleri anlamada ve çözümlerini bulmada zorlandiklarini göstermektedir. Bu çalismada ise ögrencilerin cebirsel sözel problemleri,  denklem olarak yazarken kullandiklari stratejiler belirlenmeye çalisilmistir. Bunun için, 5 adet açik-uçlu sorudan olusan bir testten yararlanilmistir. Bu test, 2002-2003 ögretim yili bahar yariyilinda, Cumhuriyet Üniversitesi Egitim Fakültesi’nde bulunan Ilkögretim Matematik Ögretmenligi, Ortaögretim Matematik Ögretmenligi, Resim Ögretmenligi, Müzik Ögretmenligi, Sosyal Bilgiler Ögretmenligi, Okul Öncesi Ögretmenligi ve Sinif Ögretmenligi Anabilim dallarinda okuyan 1. sinif ögrencilerine uygulanmistir. Verilerin analizi sonucunda, ögrencilerin cebirsel sözel problemleri, denklem formuna getirirken ters çevirme, örnek verme, ayni harf kullanma, farkli harf kullanma ve mekanik denklemler kurma gibi çözüm stratejilerini kullandiklari tespit edilmistir. Ayrica, cebirsel sözel problemlerin özelligine göre (bilinmeyen niceliksel iliskiler-bilinen niceliksel iliskiler, ayni harf-farkli harf kullanimi gibi) bu stratejilerin kullanimlarindaki farkliliklar da tespit edilmistir. Bunlara ilave olarak, ANOVA testi araciligiyla testten alinan puanlarin aritmetik ortalamalarinin anabilim dallarina göre anlamli bir farklilik gösterip göstermedigi de belirlenmistir.

GIRIS

Ilkögretim ve lise matematik müfredatinin ana hedefi, cebir ve cebirsel düsünmeyi gelistirmektir. Cebir ise genellikle çesitli semboller, ifadeler ve bunlarin gösterimleri ile denklemler ve denklemlerin çözümlerinin bulunmasi olarak algilanir (Smith et al, 2000). Denklemler ve denklemlerin çözümlerinin bulunmasi ise cebirin temelini teskil etmektedir. Bu nedenle, denklemler genelde matematik özelde de cebir müfredatinda önemli bir yer tutmaktadir.Denklem kavraminin anlasilmasi ve denklemlerin çözüm kümelerinin bulunabilmesi ileri matematiksel kavramlarin anlasilmasina zemin hazirlar. Ancak, her düzeydeki ögrencilerin cebirsel denklemleri çözerken zorlandiklari görülmektedir (Herscovics & Kieran, 1980; MacGregor & Stacey, 1996; Stacey & MacGregor, 2000; Dede, 2003). Bu zorluklar, cebirsel  ifadelerin sadelestirilememesi, aritmetikten cebire geçisteki zorluklar (Dooren, Verschaffel & Ongehena, 2003; Van Ameron, 2003), denklemlerin dogru bir sekilde yorumlanamamasi (Real, 1996) ve cebirsel sözel problemlerin denklem olarak yazilamamasi (Herscovics & Kieran, 1980; Real, 1996; MacGregor & Stacey, 1996; Stacey & MacGregor, 2000) gibi nedenlerden  kaynaklanmaktadir. Ögrencilerin, denklemlerin çözümlerini anlamakta zorlanmalarina neden olan cebirsel sözel problemler ise matematik müfredatinin önemli bilesenlerindendir (Chapman, 2002). Cebirsel sözel problemlerin ögrenimi, aritmetikten cebire geçis için kolaylik saglamaktadir (Palomares & Hernandez, 2002). Ancak, cebirsel sözel problemler çözümleri zor bulunan problemler olarak ün yapmislardir (Cummins et al., 1988; Akt: Neuman & Schawartz, 2000). Bu konu üzerine yapilan arastirmalar da bu durumu destekler niteliktedir (Herscovics & Kieran, 1980; MacGregor & Stacey, 1996; Kamal & Ramzi, 2000; Stacey & MacGregor, 2000; NAEP, 1992a, NAEP, 1992b, Akt: Heng-Yu & Sullivan, 2001, Muth, 1992; Akt: Lenore, 2003).Cebirsel sözel problemlerin ögrenciler tarafindan anlasilamamasinin nedeni olarak asagida verilen iki temel yaklasim ön plana çikmaktadir (Ostad, 1998; Cummins & et al., 1988; Akt: Neuman & Schawartz, 2000):

i) Mantiksal-matematiksel yaklasim (Logico-mathematical approach): Bu yaklasim Piagetian Teorisi’yle birlestirilebilir.Yani, sözel problemlerin çözümlerinde kavramsal bilginin rolü vurgulanir. Bu yaklasima göre, cebirsel sözel problemlerin çözümünde yasanan zorluklar, ögrencilerin mantiksal-zihinsel yapilarinin tam gelismemesinden kaynaklanmaktadir.

ii) Dil yaklasimi (Linguistic approach): Bu yaklasim ise genellikle Kintsch’in, Dil Kavrama Teorisi’yle birlestirilir. Bu yaklasima göre ise cebirsel sözel problemlerin çözümünde yasanan zorluklar, ögrencilerin verilen ifadelerdeki dili anlama yetersizliklerinden kaynaklanmaktadir. Nathan et al. (1992; Akt: Neuman & Schawartz, 2000), ögrencilerin cebirsel sözel problemleri, denklem formuna getirirken sözdizimsel (syntax) bir yaklasim kullandiklarini bu durumun da kullanilan dilden kaynaklandigini belirtmislerdir. Silver, Shapiro & Deuthsch (1993, Akt: Jose, 2002) ise cebirsel sözel problemlerin çözümü için bir model önermislerdir. Bu model, 4 adimdan olusmaktadir. Birinci asama, verilen cebirsel sözel problemin içindeki matematiksel problemin yapisini anlamaktir.Bu asamada, verilen bilgiler anlasilmaya çalisilir, eksik veya fazla bilgiler belirlenir ve içerikteki gerçek durum ortaya çikarilir. Ikinci asamada, verilen sözel problemin çözümüne yol açacak uygun bir süreç, islem, algoritma veya matematiksel modellemenin seçilmesini içerir. Üçüncü asama ise seçilen bu çözüm stratejisinin uygulanmasini göstermektedir.Son asamada ise matematiksel islemler veya hesaplamalar sonucu üretilen cevabin dogrulugu ve anlami üzerinde durulur.

Buna göre, ögrenciler cebirsel sözel problemlerin çözümünü bulmak için hem verilen sözel içerigi hem de reel durumu dikkate almak zorundadirlar. Ancak, bu sekilde duruma uygun bir matematiksel model/modeller kurabilirler. Cebirsel sözel problemlerin çözümlerinin bulunmasi için gerekli olan matematiksel model/modeller de genellikle bu cebirsel sözel ifadelerin denklemler olarak yazilmasi seklinde olmaktadir. Bu nedenle, bu çalismada üniversite ögrencilerinin cebirsel sözel problemleri, denklem olarak yazabilme becerileri ve kullandiklari çözüm stratejileri belirlenmeye çalisilmistir.

2. YÖNTEM

2.1. Örneklem

Arastirmanin örneklemini, 2002-2003 egitim-ögretim yili bahar yariyilinda  Cumhuriyet Üniversitesi Egitim Fakültesi’nin çesitli anabilim dallarinda okuyan 1. sinif ögrencileri olusturmustur. Arastirmaya, Okul Öncesi Ögretmenligi’nden (OÖÖ) 31, Sosyal Bilgiler Ögretmenligi’nden 34, Sinif Ögretmenligi’nden 76, Müzik Ögretmenligi’nden 11, Ilkögretim Bölümü Matematik Ögretmenligi’nden 100 ve Ortaögretim Matematik Ögretmenligi’nden 35 olmak üzere toplam 287 ögrenci katilmistir.

2.2. Problem Cümlesi  

1. Cebirsel sözel problemlerin, denklemler olarak yaziminda ögrencilerin kullandiklari çözüm stratejileri nelerdir?

2. Ögrencilerin, Denklem Kurma Test’inden aldiklari puanlarin aritmetik ortalamalari, okuduklari anabilim dallarina göre anlamli bir farklilik gösteriyor mu?

2.2.1. Alt Problemler

1. Ögrencilerin, bilinen niceliksel iliskiler, çarpma-bölme, ayni harf ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemleri, denklem olarak yazarken kullandiklari çözüm stratejileri nelerdir?

2. Ögrencilerin, bilinmeyen niceliksel iliskiler, çarpma-bölme, ayni harf ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemleri, denklem olarak yazarken kullandiklari çözüm stratejileri nelerdir?

3. Ögrencilerin, bilinen niceliksel iliskiler, toplama-çikarma, ayni harf ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemleri, denklem olarak yazarken kullandiklari çözüm stratejileri nelerdir?

4. Ögrencilerin, bilinen niceliksel iliskiler, çarpma-bölme, farkli harf ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemleri, denklem olarak yazarken kullandiklari çözüm stratejileri nelerdir?

5. Ögrencilerin, bilinmeyen niceliksel iliskiler, çarpma-bölme, farkli harf ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemleri, denklem olarak yazarken kullandiklari çözüm stratejileri nelerdir?

2.3. Verilerin  Toplanmasi ve Analizi

Arastirmaci tarafindan, ögrencilerin cebirsel sözel problemleri denklemler olarak yazarken kullandiklari çözüm stratejilerini belirlemek amaciyla açik uçlu tipte 5 tane soru hazirlanmis ve bu sorular arastirmaya katilan ögrencilere uygulanmistir. Ögrencilere, testi cevaplamalari için 25 dakika süre verilmistir. Arastirma verilerinin çözümlenmesinde ise SPSS paket programi kullanilmistir. Ögrencilerin testten elde ettikleri puanlarin aritmetik ortalama ( )  ve standart sapma (s) degerleri  hesaplanmistir. Ögrencilerin, cebirsel sözel problemleri denklem olarak yazmada kullandiklari çözüm stratejilerinin bir siniflamasi yapilmis ve bunlar frekans ve yüzde (%) degerleri ile verilmistir. Ayrica, testten, en az  0 en fazla ise 100 puan alinabilmektedir. Ögrencilerin, Denklem Kurma Test’inden aldiklari puanlarin, okunan anabilim dallarina göre anlamli bir farklilik gösterip göstermedigi de tek yönlü ANOVA testi kullanilarak analiz edilmistir.

3. BULGULAR ve YORUM

Ögrencilerin, Denklem Kurma Testi’ndeki sorularin her birine yönelik verdikleri cevaplarin okuduklari anabilim dallarina göre frekans dagilimlari Tablo 1’de verilmistir:

Tablo 1. Ögrenci Cevaplarinin Okuduklari Anabilim Dallarina ve Cevap Kategorilerine Göre Frekans Dagilim Tablosu

          Burada, 1. sorunun 1., 3. ve 4. alt problemlerine ait verilere yer verilecektir:

Alt Problem 1. Ögrencilerin, bilinen niceliksel iliskiler, çarpma-bölme, ayni harf ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemleri, denklem olarak yazarken kullandiklari çözüm stratejileri nelerdir?

1. soru, ögrencilerin çarpma-bölme, ayni harf kullanimi, bilinen niceliksel iliski ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemleri, denklem haline nasil dönüstürdüklerini belirlemeye yöneliktir. Bu soru, literatürde “ögrenci-profesör” problemi olarak ta bilinmektedir. Tablo 1 den de görülebilecegi gibi, 1. soruyu sirasiyla OMÖ’nin %91,4’ünün, IMÖ’nin %86,0’sinin, SÖ’nin %81,6’sinin, OÖÖ’nin %64,5’ünün, MÖ’nin %63,6’ünün ve SBÖ’nin %50,0’sinin dogru olarak cevapladiklari görülmektedir(Sekil 1).

Sekil 1.  1. soruya yönelik OÖÖ’nde okuyan bir ögrencinin verdigi dogru cevap

Alt Problem 3. Ögrencilerin, bilinen niceliksel iliskiler, toplam-çikarma, ayni harf ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemleri denklem olarak yazarken kullandiklari çözüm stratejileri nelerdir?

3.soru, ögrencilerin toplama-çikarma, günlük-sembolik dil karisimi kullanimi içeren cebirsel sözel problemleri denklem haline getirebilme becerilerini ölçmeye yöneliktir. 3.soruyu sirasiyla, OÖM’nin %91,4’ü, IMÖ’nin %83,0’ü, SÖ’nin %68,4’ü, OÖÖ’nin %67,7’si, SBO’nin %50,0’i ve MÖ’nin %36,4’ü dogru olarak cevaplamistir (Sekil 2).

Sekil 2. SBÖ’de okuyan bir ögrencinin 3. soru için dogru çözümü

Tablo 1’e göre, 3. soruda ters çevirme hatasini ise en fazla %30,3 ile SÖ’inde okuyan ögrencilerin yaptigi görülmektedir (Sekil 3). Ayrica,”daha az” kelimesinin çikarma islemi için bir isaret olarak algilandigi da görülmektedir.

Sekil 3.  SÖ’de okuyan bir ögrencisinin 3. soru için ters çevirme hatasi

Alt Problem 4. Ögrencilerin, bilinen niceliksel iliskiler, çarpma-bölme, farkli harf ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemleri denklem olarak yazarken kullandiklari çözüm stratejileri nelerdir?

4. soru, çarpma-bölme, farkli harf kullanimi, bilinen niceliksel iliski ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemleri denklem haline getirebilme becerilerini ölçmeye çalismaktadir. Tablo 1 den görülecegi gibi, OÖÖ, SBÖ, IMÖ ve OMÖ ögrencilerinin 4. soruyu 1. soruya göre daha fazla dogru olarak cevapladiklari görülmektedir (Sekil 4).

Sekil 4.  IMÖ’de okuyan bir ögrencinin 4. soru için dogru cevabi

SÖ ve MÖ ögrencilerinde ise bu durum tersine dönmektedir. 4. soru, problem cümlesindeki ifadelerin farkli harflerle ifade edilmesi bakimindan 1.sorudan ayrismaktadir. Veriler, -iki grup hariç- harflerin farkli kullanilmasinin ögrencilerin dogru cevap yüzdelerini düsürmedigini hatta arttirdigini göstermektedir. Ters çevirme hatasi, bu soruda da kendini göstermektedir ( ).

Denklem Kurma Testi’nden alinan puanlarin anabilim dallarina göre frekans dagilimlari ise tablo 2 de verilmistir:

Tablo 2.

Denklem Kurma Testi’nden Alinan Puanlarin Anabilim

Dallari’na Göre Frekans Dagilimi Tablosu

ANOVA testi sonuçlari, Denklem Kurma Testi’nden elde edilen puanlarin okunulan anabilim dali bakimindan anlamli bir farkliligin oldugunu göstermektedir . Yani, ögrencilerin Denklem Kurma Testi’nden elde ettikleri puanlarin aritmetik ortalamasi, okuduklari anabilim dalina bagli olarak anlamli bir sekilde degismektedir. Bu anlamli farkliligin hangi anabilim dallarindan kaynaklandiginin belirlenmesi için yapilan Scheffe testi sonucunda ise testten elde edilen puanlar bakimindan, OMÖ  ve IMÖ  ögrencilerinin testten aldiklari puanlarin aritmetik ortalamasi bakimindan, OÖÖ , SBÖ , MÖ  ve SÖ  ögrencilerinin testten aldiklari puanlarin aritmetik ortalamasina göre OMÖ ve IMÖ ögrencileri lehine anlamli bir farklilik bulunmustur. OMÖ  ve IMÖ  ögrencilerinin testten aldiklari puanlarin aritmetik ortalamasi bakimindan ise aralarinda anlamli bir farklilik bulunmamistir. Ayrica, OÖÖ , SBÖ  ve SÖ  ögrencilerinin testten elde ettikleri puanlarin aritmetik ortalamasi bakimindan SÖ ögrencileri lehine anlamli bir farklilik bulunmustur. OÖÖ , MÖ  ve SBÖ  ögrencilerinin testten aldiklari puanlarin aritmetik ortalamalari bakimindan ise anlamli bir farklilik bulunamamistir.

SONUÇ ve ÖNERILER

Cebirsel sözel problemler, matematigin önemli bilesenleridir. Aritmetikten cebire geçisi saglayan önemli kavramlardir. Ancak, bu önemine ragmen ögrenciler tarafindan anlasilmasinda sikintilarin oldugu görülmektedir. Bunun en temel nedeni olarak, giris bölümünde de belirtildigi gibi ögrencilerin gerekli matematiksel-zihinsel alt yapiya sahip olamayislari ve günlük dilden sembolik dile geçiste zorlanmalari gösterilmektedir. Cebirsel sözel problemlerde kullanilan günlük dilden sembolik dile geçis ise genellikle harfli ifadeler kullanilarak insa edilen denklemlerle mümkün olabilmektedir.Daha sonra ise insa edilen bu denklemlerin çözümlerinin bulunmasi asamasi gelmektedir. Ancak, bu arastirmanin sonuçlari üniversite 1. sinif ögrencilerinin cebirsel sözel problemleri denklem olarak yazmada zorlandiklarini göstermektedir.

Ögrencilerin, cebirsel sözel problemleri denklem olarak yazarken dogru cevabin yaninda, ters çevirme, örnek verme, ayni harf kullanma, farkli harf kullanma ve (mekanik) denklemler kurma gibi çözüm stratejileri kullandiklari belirlenmistir. Ayrica, her gruptaki ögrencilerin bilinmeyen niceliksel iliskiler içeren cebirsel sözel problemleri  denklem olarak yazmada (2. soru), bilinen niceliksel iliskiler içeren cebirsel sözel problemleri denklem olarak yazmaya göre daha fazla zorlandiklari tespit edilmistir (1. soru). Bilinen niceliksel iliskiler içeren cebirsel sözel problemlerin denklem olarak yazimi (1. soru) ile bilinen niceliksel iliskiler, farkli harf ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemlerinin denklem olarak yaziminda ise ögrencilerin dogru cevap yüzdelerinin birbirine yakin oldugu görülmüstür. Bunun yaninda, ögrencilerin bilinmeyen niceliksel iliskiler, farkli harf ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemleri denklem olarak yazmada (5. soru), bilinmeyen niceliksel iliskiler, ayni harf ve günlük-sembolik dil karisimi içeren cebirsel sözel problemleri (2. soru) denklem olarak yazmaya göre daha fazla zorlandiklari da görülmüstür.

Ögrencilerin, Denklem Kurma Testi’nden elde ettikleri puanlarin aritmetik ortalamalari üzerinden yapilan ANOVA testti sonuçlari da, elde edilen puanlarin okunulan anabilim göre anlamli bir sekilde degistigini göstermistir. Buna göre, testten elde edilen puanlarin aritmetik ortalamalarina göre OMÖ ve IMÖ ögrencileri lehine anlamli bir farklilik bulunurken bu iki anabilim dalinin testten elde ettikleri puanlarin aritmetik ortalamalari arasinda ise anlamli bir farklilik bulunmamistir. Ayrica, OÖÖ, SBÖ ve SÖ  ögrencilerinin testten elde ettikleri puanlarin aritmetik ortalamasi bakimindan SÖ ögrencileri lehine anlamli bir farklilik oldugu da tespit edilmistir. OÖÖ, MÖ ve SBÖ ögrencilerinin testten aldiklari puanlarin aritmetik ortalamalari bakimindan ise anlamli bir farklilik bulunamamistir.Bu veriler isiginda, sunlar önerilebilir:

1) Ögrencilerin, cebirsel sözel problemlerde kullanilan günlük dilden sembolik dile geçiste zorlandiklari bilinmelidir. 2) Toplama ve çikarma islemleri içeren cebirsel sözel problemlerde geçen “daha fazla”, “daha az” gibi kelimelerin ögrenciler tarafindan yapilacak islemler için bir isaret olarak algilandigi bilinmelidir.  3) Harf semboller, genellikle kelimelerin kisaltmalari olarak kullanilmaktadirlar. Örnegin; 1. soruda ters çevirme hatasi yapan ögrenciler  harfinin “profesörlerin sayisi” yerine “profesörleri”,  harfinin ise “ögrencilerin sayisi” yerine “ögrencileri” temsil ettigini düsünerek cevabini vermislerdir. Bu nedenle, bu tarz bir gösterimin ögrencilerin yanilgiya düsmelerine neden olabilecegine dikkat edilmelidir.

         KAYNAKLAR

[1]Chapman, O.(2002). Teaching Word Problems: What High School Mathematics Teachers Value. PME 24, Athens, GA, October 26-29.

[2] Dede, Y. (2003). ARCS Motivasyon Modeli ve  Öge Gösterim Teorisi’ne (Component Display Theory) Dayali Yaklasimin Ögrencilerin Degisken Kavramini Ögrenme Düzeylerine ve Motivasyonlarina Etkisi. Gazi Ün. Egitim Bilimleri Enstitüsü (Yayinlanmamis Doktora Tezi). Ankara.

[3] Dooren, W., Verschaffel, L. & Ongehena, P. (2003). Pre-Service Teachers’ Preferred Strategies for Solving Arithmetic and Algebra Word Problems. Journal of Mathematics Teacher Education 6: 27-52.

[4] Heng-Yu, K. & Sullivan, H.(2001). Effects of Personalized Instruction on Mathematics Word Problems in Taiwan. Paper Presented at the National Convention of the Association for Educational Communications and Technology, 24th, Atlanta, GA, November 8-12.

[5] Herscovics, N.& Kieran, C. (1980). Constructing Meaning for The Concept of Equation. Mathematics Teacher. November, 572-580.

[6] Jose, N.C. (2002). Preservice Secondary Mathematics Teachers’ Modelling Strategies to Solve Problematic Subtraction and Addition Word Problem Involving Ordinal Numbers and Their Interpretations of Solutions. Proceedings of the Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 24th, Athens, GA, October 26-29.

[7] Kamal, A. & Ramzi; N. (2000). The Role of Presentation and Response Format in Understanding, Preconceptions and Alternative Concept in Algebra Word Problems. ERIC Document Reproduction Service No. ED 438 174.

[8] Lenore, K. (2003). Differential Memory for Relevant and Irrevelant Information in Arithmetic Word Problems. ERIC Document Reproduction Service No. ED 478 490.

[9] MacGregor, M.& Stacey, K.(1996). Learning to Formulate Equations for Problems. PME 20, July 8-12, Valencia, Spain, vol 3, 289-303.

[10] Neuman, Y. & Schwarz, B. (2000). Substituting one mystery for another: the role of self-explanations in solving algebra word problems. Learning and Instruction 10 203-220.

[11] Ostad, S. (1998). Developmental Differences in Solving Simple Arithmetic Word Problems and Simple Number-Fact Problems: A Comparison of Mathematically Normal and Mathematically Disabled Children. Mathematical Cognition, 4 (1), 1-19.

Palomeras, A. & Hernandez, G. (2002). Identifacition of Strategies Used by Fifth Graders to Solve Mathematics Word Problems. PME 24, Athens, GA, October 26-29

Real L., F. (1996). Secondary Pupils’ Translation of Algebraic Relationships into Everday Language: A Hong Kong Study. (Eds. Luis, P. & Angel, G.) PME 20, Valencia, Spain, vol 3, 280-287.

[12] Smith, J., Eisenmann, B., Jansen, A. & Star, J. (2000). Studying Mathematical Transitions: How Do Students Navigate Fundamental Changes in Curriculum and Pedagogy? Paper presented at the Annual Meeting of the American Educational Research Association Meeting, New Orleans, LA, April 24-28.

[13] Stacey, K. ve MacGregor, M. (2000). Learning the Algebraic Method of Solving Problems. Journal o Mathematical Behavir, 18 (2), 149-167.

[14] Van Ameron, B. (2003). Focusing On Informal Strategies when Linking Arithmetic to Early Algebra. Educational Studies in Mathematics 54: 63-75.