The Rangers' cupboard of talent is rather barren at the moment. For running backs at the Combine, Authentic Jared Spurgeon Jersey 40-yard dash is the Anthony Steen Youth Jersey Edgartown selectmen ask for $3 million to buy downtown property Voters see two articles The selectmen plan two articles concerning the long-vacant property. It took him barely any time at all to register his first highlight as a member of SKA St.

Leyden , 29- 5.
According to , the Browns were heavy discussions with Crowell during the about a potential extension and could reach an agreement before the 24-year-old back is scheduled to become a restricted free agent. led the MAC punt return average as a senior and earned third-team all-conference recognition at Felix Potvin Youth Jersey recording Ronde Barber Jersey interceptions:


I think that it's even too soon to tell what the legacy of the 60s be. joins starting safety Iloka and Pro Bowl cornerback Adam Jones as the other defenders who have re-signed with the Bengals since the start of Wednesday's free agency period.

Week 12 of 2011ers 16 loss to the Baltimore Ravens If you're hungry, we've got to go take it!

FAYETTEVILLE, Ark. Silverfarb is quite familiar with Fairfield County, as he grew up Trumbull, currently resides Fairfield and worked as sports editor of Nike NFL Jerseys Size Chart the Sentinel, Greenwich Post and Norwalk Citizen~News combined for nearly two decades. Visitation is 3 p.m. Beach also provided the court with a dozen character reference letters, noted that four people were the courtroom, Authentic Morten Andersen Jersey Beemer's wife and mother, to support him, and added that Authentic Tyreek Hill Jersey is a father of four. CSN has a new Wizards podcast! I was definitely pleasantly surprised, said Dan Jablonic, the hockey director at the Kettler Iceplex. Dieruff was the first area school to get a ball, however, and , who have the field at J. Scrivens relieved Mike Condon Saturday night's 5 loss to the Rangers. Eric Weddle is coming off excellent at safety, but do the Ravens want to go another with 31-year-old Lardarius Webb as the starter next to Weddle? I just felt like I wasn't a normal Mike Remmers Youth Jersey and I hated it. This combo comp reflects the fact that there isn't currently a player the league who's really like Ball -- with a playmaking ability like Kidd, Wholesale NHL Jerseys along with the physicality and 3-point accuracy.

United Press International is a leading provider of Howard Wilson Jersey photos and information to millions of readers around the Cheap NFL Jerseys Paypal globe via and its licensing services. Airports Terence Newman Jersey . The combination of his imposing seven-foot frame and wet jump shot from anywhere on the court ensured that. You think beyond sport, the most memorable is Joe Rosenthal at Iwo Jima.

Hayward struggles loss to MEM He really struggled to score tonight and missed all three of his triples, but salvaged his line with eight rebounds, five assists Melvin Ingram Jersey one block 36 minutes. That the team gave Ichiro the number that had once been worn by was no coincidence. A corporal the US Marines during World War II, he had his rifle shot right out of his hands during the invasion of Guam, picked it up and Henrik Borgstrom Jersey kept on going. 2 point guard job, Baldwin is only a super deep stash re-draft. Thanks for reading everyone! Colt , Tyrod or any other average qb put up comparable numbers Gruden's system which the qb puts up almost 40 attempts per game. There is always pressure to acquire Authentic Brad Nortman Jersey but it got turned up a notch on Jatavis Brown Jersey manager Ozzie Newsome when Orr left the sport because of a congenital neck and spine condition. However, he spoke highly of Pettway's ability to hurt opposing defenses with his physical style.

He's also the quarterback that slides. Radim Vrbata – The Habs Wholesale Jerseys Cheap went after him two years ago and just missed out. Part of it is personnel. He's already surpassed career highs goals, assists and points. That would have crumbled a lot of players. C McCann was rested against the left-hander Cheap Jerseys Wholesale favor of Romine, even though McCann is 10 Nike NFL NHL Jerseys Wholesale Jerseys Wholesale for 29 with three homers vs. Authentic Orlando Pace Jersey 's play Shawn Matthias Womens Jersey since dropped off, there's no denying that his time the AHL certainly didn't hurt his development.

He was signed by the Detroit Tigers, but didn't pitch the major leagues 1992. He shook his head as he sighed. Rio Brining playoff football back to Oakland for the first time since Pernell McPhee Jersey is now small feat for Rio. Plus, Leonard Williams Jersey from New , they got to rent cars when they went out there. Peterson however doesn't have a niche. Following the win, Twitter exploded with support for Steve McLendon Youth Jersey Team, from players, Cowboys legends, celebrities, media members and fans. Gasol looks back fondly on their dinners together. The 6-foot-6-pound earned All-ACC first-team honors from Mark Duper Jersey conference's coaches last after tallying 82 total tackles to go along with 11 quarterback sacks and 14 QB pressures. Just try not to think about it, and go out there and play.

I threw it all away because I had to be what never was Been so hungry I could lie Took word, I took your wine And held you bloody hands These rattled Phil McConkey Womens Jersey and rubber bands Washed them the muddy water Looking for a dime and found a quarter But you can't make me Robert Griffin III Womens Jersey name They'll never make me change name Pay no mind now ain't that's something Fuck it all I came from nothing.
Same with Toronto and Zaitsev, although he's a restricted free agent. What did jumping over STUFF with both legs over him horizontally was .

DGY-CABRI ILE KÜBIK DENKLEMLERIN ÇÖZÜMÜ
duman6

MATDER - Matematikçiler Derneği



DGY-CABRI ILE KÜBIK DENKLEMLERIN ÇÖZÜMÜ

Basligi : DGY-CABRI ILE KÜBIK DENKLEMLERIN ÇÖZÜMÜ
Konu : DGY-CABRI ILE KÜBIK DENKLEMLERIN ÇÖZÜMÜ
Yazar : Doç.Dr. Adnan BAKI, Ars.Gör.Bülent GÜVEN
Tarih : 06.11.2004
E-mail :  

Özet:  Eski Misir matematigi hakkindaki bilgilerimiz, zamanimiza kadar intikal Etmis papirüs ve parsömen tomarlari ile kil ve tahta tabletlere dayanmaktadir.Yaklasik olarak 3500 yil önce Misirlilar tarafindan yazilmis bir metinde(bugüne çeviriyle) sunlar yaziyordu: 'Correct method of reckoning, for graspingthe meaning of things and knowing everything that is, obscurities . . . and all secrets.' Eski Misirlilarin  kulladigi matematigin, o çaglarda var olan Çin, Babil uygarliklarinin kullandiklari matematikle kiyaslandiginda daha modern bir yapiya sahip oldugu sonucuna bu belgelerden elde edilen çeviriler ile varilmistir.

Eski Misirlilarin hesaplamalari bugünkü bilgilerimiz isiginda bile son derece

basariliydi. Misirlilar, özellikle ölçü, yüzey ve hacim hesaplamalarinda çok gelismis bir matematik bilgi birikimine sahiplerdi. Eski Misirlilar Nil Nehri çevresinde yerlesmislerdi ve hayatlari Nil Nehri'nin yükselme ve alçalmasina  bagliydi.Bu durumu sürekli ölçmek ve kontrol etmek  geregiyle yapilan  hesaplamalar ve  arazi ölçüleriyle Eski Misir'da aritmetik ve geometrik ilimler büyük gelisme göstermistir. Pi sayisina ait ilk bilgilere Eski Misirlilarin kullandiklari matematikte rastlanmistir. Misirlilar, yüzey ve hacim hesaplari yaparken, pi sayisina ait  yaklasik deger kullanmislardir. Papirüs metinlerinde, birçok aritmetik ve  geometrik esaslar ilmi bir sekilde konulmustur.Ancak Eski Misirlilar uygulamali matematikte  çok iyi olmalarina ragmen teorik matematikte fazla bir gelisme  gösterememislerdir. Örnegin, Çin ve  Babil uygarliklarinin Pisagor  Teoremi'nde  çok iyi çalismalari olmasina karsin, Eski Misirlilarin bu              teoremi bildiklerine dair hiç bir kanit bulunamamistir..

     Eski Misirlilarin Nil nehrinin alçalma ve yükselmesine bagli hesaplari  yaparken  kullandiklari kesirler  ve  ticaret sirasinda kulandiklari matematik onlari bazi yanlisliklara sürüklemistir. Buna nedenlerden biri  tam kesirler elde etmek için kullandiklari ilginç bir metottur. Bu makalede bu metotu açiklayip örnekleyecegiz.

Bu metot Eski Misirlilar tarafindan bulunmus, bati matematikçileri tarafindan

gelistirilmistir.

GIRIS

                Bilinen en eski sayma sistemlerinden biri, Eski Misirlilara ait olanidir. Eski Misirlilarin kullandiklari resim yazisinin (hiyeroglif) baslangiç tarihi, M.Ö. 3300 yilina kadar dayanir.Misirlilar, ortalama 5300 yil önce, milyona kadar olan sayilari kapsayan bir sistem gelistirmislerdir. Eski Misirlilara ait sayma sistemi, ilkçag magara insaninin önceleri kullandigi sayma sisteminin gelismis seklidir.

            Eski Misir matematigi hakkindaki bilgilerimiz, zamanimiza kadar intikal etmis papirüs tomarlarindan elde edilmektedir.Papirüsler, Nil Nehri boyunca yetisen yapraklarin uzun tabakalar halinde kesilip preslenip güneste kurumaya birakilmasiyla elde edilmislerdir.Kuruduklarinda katlanip depolanarak kullanima hazir hale gelmislerdir.Papirüsler Nil Nehrinin her iki yani çöl oldugundan kuru ortamda kolayca korunmuslardir. Bugün bu papirüsler; bilim tarihinde, M.Ö.1900-1800 yillari için adlandirilan, Kahun ve Berlin papirüsleri ile, M.Ö. 1700 ile 1600 yillari için adlandirilan Hiksoslar Devrinden M.Ö.1788-1580 kalma Rhind ve Moskova matematik papirüsleridir.Misirlilarin kullandigi matematik hakkindaki en eski kaynak, 1858 yilinda Henry Rhind'in Thebes'teki arastirmalarinda ortaya çikan ve Rhind Papirüsleri olarak adlandirilan papirüslerdir. Bu papirüsler 1864 yilindan itibaren Ingiliz Müzesi'nde sergilenmektedir.  Misir matematigi hakkindaki diger kaynaklar, birkaç parsömen tomari ile kil ve tahta tabletlere dayanmaktadir.

Eski Misir tabletleri Eski Misir insanlarinin matematigi nasil kullandiklari hakkinda bize bir çok bilgi verir.  En eski tabletlerden olan Rhind matemetik tabletlerinden anlasilan,  Misirlilarin  kullandiklari temel sayi sistemlerinin  bize çok benzer oldugu ancak  kullandiklari kesir kavraminin çok farkli oldugudur.

 Misirlilarin kesirleri ifade etme tarzlari günümüze oranla çok sinirli kalmistir. Misirlilar kesir ifadesi olarak 1/2,1/3,....1/n gibi bir notasyona sahiptiler.Ancak bu notasyon 2/5,3/4 gibi kesirleri dogrudan ifade etmeye yetmiyordu.Yalnizca birim kesir notasyonuna sahip olduklarindan birim kesir olmayan kesirleri ancak birim kesirlerin toplami seklinde ifade edebiliyorlardi.Bu ifadede ayirdedici olan özellik kullanilan bütün birim kesirlerin birbirinden farkli seçilmesiydi.Örnegin;

   3/4=1/2+1/4

   6/7=1/2+1/3+1/42

Basit olarak bir kesri tek bir sembol halinde degilde birim kesirlerin toplami halinde ifade sekli,misir kesir sayisinin özellikleri  sayilar teorisinde yeni çalismalara yol açmistir.  

Misir Kesri

 

               Misir kesirlerini içeren temel problem, herhangi bir kesri sadece birim kesirlerin bir toplami olacak sekilde ifade eden bir algoritmanin olusturulmasiydi.  Yillarca çesitli amaçlar için birçok farkli algoritmalar gelistirildi.Bu algoritmalar kuramsaldan pratige dogru bir egim kazandi.

            Herhangi bir rasyonel sayi, birden fazla misir kesrinin kullanilmasi ile ifade edilir:

          Eger a/b kesri için,

            a/b = 1/x1 +1/x2+... +1/xn

ise

            1/x = 1/(x+1) +1/(x(x+1))

denklemi

            a/b = 1/x1 + ... + 1/(xn-1)+1/(xn+1)+1/(xn(xn+1))

denklemini elde etmek için kullanilabilir. 

             Bu basit mantik Eski Misirlilarin kesir ifadesinin temelini olusturuyordu.Örnegin;

            2/4=1/4+1/4

            1/4=1/5+1/(4(4+1))

            2/4=1/4+1/5+1/20

Ayirma Metodu (misir kesri algoritmasi)

 

                Birim kesir açiliminin gelistirimesindeki en kullanissiz algoritma ayirma metodudur. Temel olarak ayirma iliski denklemi denilen

            1/x = 1/(x+1) +1/(x(x+1))

esitsizligi kullanilir ve islevi söyledir;

            p/q rasyonel sayisi birden küçük verildiginde, ilk olorak p/q rasyonel sayisi 1/q birim kesirlerinin p toplami olarak yazilir. (p/q=1/q+1/q+....+1/q) Sonra açilimda tekrarli halde bulunan 1/q kesirlerinin yalnizca bir tanesi hariç diger tekrarlarin herbiri ayirma kurali uygulanarak kaldirilir.Bu isleme toplam ifadesindeki bütün birim kesirler birbirinden farkli oluncaya kadar devam edilir.Son olarakta açilimdaki paydalarda tekrarlar olmiyacak sekilde ifade yediden düzenlenir.

Örnegin, 3/7 sayisi için

                        3/7 =  1/7 + 1/7  +1/7 

                              =  1/7 + ( 1/8 + 1/56) + ( 1/8 + 1/56)

                              =  1/7 + 1/8 +  1/8 + 1/56 + 1/56

                              =  1/7 + 1/8 +  (1/9 + 1/72)  + 1/56 + ( 1/57 + 1/3192)

                              =  1/7 + 1/8 +  1/9 + 1/56 + 1/57 +1/72  + 1/3192

Bu yöntemin daima dogrulugu açiktir.

Özel Durumlar:

Misirlilar temelde toplama islemini kullanarak çarpma ve bölme islemlerini yapmislar ve bu islemleri misirli kesri ifadesinde kullanmislardir.

1/n (n bir tamsayi olmak üzere) kesrini birim kesirlerin toplami olarak yazarken;

1.metot: 1/n=1/2n+1/2n

               1/n=1/3n+1/3n+1/3n   ayirmalarini kullanmislardir.

 

    Örnegin  1/5=1/10+1/10

                   1/2=1/6+1/6+1/6

Ancak birinci metot misir kesrini tam olarak istendigi sekliyle ifade edemez.Çünkü misir kesrinde ayiredici özellik toplam ifadesindeki birim kesirlerin birbirinden farkli olmasidir.Dolayisiyla birinci metoda ek olarak ikinci ve üçüncü metotlar gelistirilmistir.

2.metot: 1/2n=1/n·(1/3+1/6)

  n=3 için 1/6=1/3·(1/3+1/6)=1/9+1/18

  n=4 için 1/8=1/4·(1/3+1/6)=1/12+1/24

  ..............................................................

2.metotta dikkat edilirse payda her zaman çift sayidir.Paydasi tek sayi olan birim kesirleri ifade edebilmek için 3.metot gelistirilmistir.

3.metot:1/p=1/p·1=1/p·(1/2+1/3+1/6)

n=3 için 1/3=1/3·(1/2+1/3+1/6)=1/6+1/9+1/18

n=5 için 1/5=1/5·(1/2+1/3+1/6)=1/10+1/15+1/30

...............................................................................

Batili matematikçiler bu yöntemi esas alarak  daha gelismis algoritmalar olusturmuslardir. Bunlardan biri olan  Fibonacci-Sylvester Algoritmasi'ni sunalim:

 

Fibonacci-Sylvester Algoritmasi

 

Misir kesri algoritmasina göre daha kullanisli bir algoritmadir. 1202 yilinda Fibonacci tarafindan olusturulmus, 1880 yilinda Sylvester tarafindan gelistirilmistir. Algoritmayi Fibonacci kullanmis ancak dogrulugu 1880 yilinda Syvester tarafindan  ispatlanmistir.

 

Algoritma söyle isler:

Birden küçük p/q rasyonel sayisi için, ilk olarak p'=p ve  q'=q olsun. Eger p'=1 ise  p'/q' açilimin bir parçasi olurki burada yapilmasi gereken hiçbir sey yoktur.Ifade zaten birim kesir halindedir.

 Aksi takdirde  r sayisi p' sayisindan küçük olacak sekilde q'=sp'+r yi elde etmek için bölme algoritmasini kullaniriz. Böylece

                        p'/q'=1/(s+1) + (p'-r)/(q'(s+1))

olur ki 1/(s+1) açilimin bir bölümünü olusturur. Sonra p'=p'-r ve q'=q'(s+1) alinmasiyla p'/q' en küçük terime indirgenir.

Örnegin,

3/7                                      p=p',q=q',q'=sp'+r olacak sekilde s=2,r=1

3/7 = 1/3 + 2/ 21                 p'=2,q'=21,q'=sp'+r olacak sekilde s=10,r=1

      = 1/3 + 1/ 11 + 1/ 231

Fakat payda çok fazla büyüdügü zaman ortaya kötü durumlar da çikar. Örnegin,

5/121  = 1/ 25 + 1/ 757 + 1/ 763309 + 1/ 873960180912 +  

              1/1527612795642093418846225

Golomb'un Algoritmasi

 

     Golomb p/q rasyonel sayisini birkaç birim kesrin toplami olarak ifade etmek için kullanilan basit bir algoritma tanimlamistir. Bu algoritmaya göre, birden küçük p/q rasyonel sayisi verildiginde,  p'=p ve  q'=q degisken degistirmesi yapilir. Sonra eger p'=1 ise  p'/q' açilimin bir parçasi olur ki burada yapilmasi gerekli hiçbir sey yoktur.  0 < p'' < q' ve p'p'' = q'r+1 olacak sekilde p'' olusturulur. Burada p'', q' moduna göre p' nin çarpmaya göre tersidir. Dikkat edelim ki

            p'/q' = 1/(p''q') + r / p''

dir ve

            1/(p''q')

açilimin bir kismidir. q' = p'' ve p' = r alinarak yukaridaki islemler tekrarlanir.

Örnegin,

                        3/7                                                   p'=3,q'=7,p''=5,r=2

                        3/7   =  1 / 35  +  2 / 5                      p'=2,q'=5,p''=3,r=1

                                =  1 / 35  +  1 / 15  +  1 / 3

Pratik Sayilar

Eger p sayisi q sayisinin bölenlerinin bir toplami olarak yazilabilirse, p/q sayisi q sayisinin paydasindan daha büyük olmayan sayilarin toplami olarak ifade edilebilir. Örnegin, 9/20 sayisini açmak istiyorsak 4 ve 5 sayilari 20 sayisinin bölenleri oldugundan

            9 / 20  =  (4+5) / 20  =  1 / 5  +  1 /  4

olarak yazilir.

            Böylece pratik sayilari söyle tanimlayabiliriz:

Tanim: Bir pratik sayi  bir N tamsayisidir öyleki n < N için, n sayisi N sayisinin farkli bölenlerinin toplami olarak yazilabilir.

Örnegin, 5/23 sayisini ifade etmek için 12 sayisinin pratik sayi olusunu kullanalim.                                       5 / 23 = 5·12 / 23·12 yazabiliriz.

23  <  2·12  ve  12  sayisi pratik sayi oldugundan  23·12 sayisi da pratik sayidir.  5·12 sayisi   23·12 sayisinin farkli bölenlerinin toplami olarak yazilabilir.
5·12 / 23·12 = (46 + 12 + 2) / 23·12 = 1 / 6  +  1 / 23 + 1 / 138

Bu algoritmanin isleyisi,  pratik sayilarin çok fazla böleni oldugu için yavas olabilir.

Ikili Algoritma

                Eger N=2^n ise  m < N sayisi N sayisinin farkli bölenlerinin toplami olarak yazilabilir. Gerçekten  m sayisi, n sayisi veya daha küçük bölenlerin toplami olarak yazilir.Çünkü 2^n sayisinin 2^0, 2^1, 2^2,., 2^(n-1) olacak sekilde n tam böleni vardir.

Örnegin

                                   5 / 16 = (1 + 4) / 16  =  1 / 16 + 1 / 4

Bunlarin disinda batili matematikçiler tarafindan Bleicher/Erdös Algoritmasi, Goldbach's  Algoritmasi, Yokota Algoritmasi, Tenenbaum/Yokota  Algoritmasi, "Optimal"  Pratik Sayi Algoritmasi, Faktor Algoritmasi, Farey Serileri  Algoritmasi,  Devam eden kesirler Algoritmasi  Misir kesir algoritmasi temel alinarak yaratilmistir.

 Sonuç

Misir kesri 1/p ve 1/pq sayilarinin açilimini kolayca yapar.  Misir kesri matematik ve tarih  konularini arastiran ögrenciler için birçok kolayliklar ve en azindan bir baslangiç saglar.

 

Misir kesri eski zamanda kullanildigi zaman birçok yarar saglamis ama günümüzde yeterli olmamistir.Bundan dolayi da günümüzde Misir kesri temel alinarak birçok algoritmalar ve yeni metotlar kesfedilmis,kullanimda yeni metotlar tercih edilmistir.

KAYNAKLAR

[1]. Breusch, R. "A Special Case of Egyptian Fractions," American mathematical Monthly 61 (1954) 200-201.

[2]. Brown, Kevin (2001) personal Homepage,  http://www.mathpages.com/home/rhind.htm.

[3]. Burshtein, Nechemia. "On Distinct Unit Fractions Whose Sum Equal 1," Discrete Mathematics 5 (1973) 201-206 

[4]. Eppstein, David (2001) personal Homepage http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt.

[5]. Guy, Richard. "Egyptian Fractions," in Unsolved Problems in Number

Theory, Section D11. Springer-Verlag, 1980.

[6]. Stewart, B. M. "Egyptian Fractions," in Theory Of Numbers. pp. 198- 207. The Macmillan Company, 1964.

[7]. Straus E. G. and Subbarao M. V. "On the Representation of Fractions as Seventh Manitoba Conference on Numerical Mathematics and Computing. pp. 561-579. Utilitas Mathematica Publishing Inc., 1978.

[8] . Sylvester, J. J. "On a Point in the Theory of Vulgar Fractions," American Journal of Mathematics 3 (1880) 332-335.

[9]. Tenenbaum, G. and Yokota, H. "Length and Denominators of Egyptian Fractions, III," Journal of Number Theory 35 (1990). 150-156

[10]. Yokota, H. "On a Conjecture of M. N. Bleicher and P. Erdös," Journal of Number Theory 24 (1986) 89-94.

[11]. Yokota, H. "Length and Denominators of Egyptian Fractions," Journal

of Number Theory 24 (1986) 249-258.