The Rangers' cupboard of talent is rather barren at the moment. For running backs at the Combine, Authentic Jared Spurgeon Jersey 40-yard dash is the Anthony Steen Youth Jersey Edgartown selectmen ask for $3 million to buy downtown property Voters see two articles The selectmen plan two articles concerning the long-vacant property. It took him barely any time at all to register his first highlight as a member of SKA St.

Leyden , 29- 5.
According to , the Browns were heavy discussions with Crowell during the about a potential extension and could reach an agreement before the 24-year-old back is scheduled to become a restricted free agent. led the MAC punt return average as a senior and earned third-team all-conference recognition at Felix Potvin Youth Jersey recording Ronde Barber Jersey interceptions:

I think that it's even too soon to tell what the legacy of the 60s be. joins starting safety Iloka and Pro Bowl cornerback Adam Jones as the other defenders who have re-signed with the Bengals since the start of Wednesday's free agency period.

Week 12 of 2011ers 16 loss to the Baltimore Ravens If you're hungry, we've got to go take it!

FAYETTEVILLE, Ark. Silverfarb is quite familiar with Fairfield County, as he grew up Trumbull, currently resides Fairfield and worked as sports editor of Nike NFL Jerseys Size Chart the Sentinel, Greenwich Post and Norwalk Citizen~News combined for nearly two decades. Visitation is 3 p.m. Beach also provided the court with a dozen character reference letters, noted that four people were the courtroom, Authentic Morten Andersen Jersey Beemer's wife and mother, to support him, and added that Authentic Tyreek Hill Jersey is a father of four. CSN has a new Wizards podcast! I was definitely pleasantly surprised, said Dan Jablonic, the hockey director at the Kettler Iceplex. Dieruff was the first area school to get a ball, however, and , who have the field at J. Scrivens relieved Mike Condon Saturday night's 5 loss to the Rangers. Eric Weddle is coming off excellent at safety, but do the Ravens want to go another with 31-year-old Lardarius Webb as the starter next to Weddle? I just felt like I wasn't a normal Mike Remmers Youth Jersey and I hated it. This combo comp reflects the fact that there isn't currently a player the league who's really like Ball -- with a playmaking ability like Kidd, Wholesale NHL Jerseys along with the physicality and 3-point accuracy.

United Press International is a leading provider of Howard Wilson Jersey photos and information to millions of readers around the Cheap NFL Jerseys Paypal globe via and its licensing services. Airports Terence Newman Jersey . The combination of his imposing seven-foot frame and wet jump shot from anywhere on the court ensured that. You think beyond sport, the most memorable is Joe Rosenthal at Iwo Jima.

Hayward struggles loss to MEM He really struggled to score tonight and missed all three of his triples, but salvaged his line with eight rebounds, five assists Melvin Ingram Jersey one block 36 minutes. That the team gave Ichiro the number that had once been worn by was no coincidence. A corporal the US Marines during World War II, he had his rifle shot right out of his hands during the invasion of Guam, picked it up and Henrik Borgstrom Jersey kept on going. 2 point guard job, Baldwin is only a super deep stash re-draft. Thanks for reading everyone! Colt , Tyrod or any other average qb put up comparable numbers Gruden's system which the qb puts up almost 40 attempts per game. There is always pressure to acquire Authentic Brad Nortman Jersey but it got turned up a notch on Jatavis Brown Jersey manager Ozzie Newsome when Orr left the sport because of a congenital neck and spine condition. However, he spoke highly of Pettway's ability to hurt opposing defenses with his physical style.

He's also the quarterback that slides. Radim Vrbata – The Habs Wholesale Jerseys Cheap went after him two years ago and just missed out. Part of it is personnel. He's already surpassed career highs goals, assists and points. That would have crumbled a lot of players. C McCann was rested against the left-hander Cheap Jerseys Wholesale favor of Romine, even though McCann is 10 Nike NFL NHL Jerseys Wholesale Jerseys Wholesale for 29 with three homers vs. Authentic Orlando Pace Jersey 's play Shawn Matthias Womens Jersey since dropped off, there's no denying that his time the AHL certainly didn't hurt his development.

He was signed by the Detroit Tigers, but didn't pitch the major leagues 1992. He shook his head as he sighed. Rio Brining playoff football back to Oakland for the first time since Pernell McPhee Jersey is now small feat for Rio. Plus, Leonard Williams Jersey from New , they got to rent cars when they went out there. Peterson however doesn't have a niche. Following the win, Twitter exploded with support for Steve McLendon Youth Jersey Team, from players, Cowboys legends, celebrities, media members and fans. Gasol looks back fondly on their dinners together. The 6-foot-6-pound earned All-ACC first-team honors from Mark Duper Jersey conference's coaches last after tallying 82 total tackles to go along with 11 quarterback sacks and 14 QB pressures. Just try not to think about it, and go out there and play.

I threw it all away because I had to be what never was Been so hungry I could lie Took word, I took your wine And held you bloody hands These rattled Phil McConkey Womens Jersey and rubber bands Washed them the muddy water Looking for a dime and found a quarter But you can't make me Robert Griffin III Womens Jersey name They'll never make me change name Pay no mind now ain't that's something Fuck it all I came from nothing.
Same with Toronto and Zaitsev, although he's a restricted free agent. What did jumping over STUFF with both legs over him horizontally was .


MATDER - Matematikçiler Derneği


Yazar : Prof Dr Yasar ERSOY
Tarih : 05.11.2004
E-mail :
Matematik egitimi, Ögretim programi, Problem kurma ve çözme, Yenilik hareketleri

Özet: Problem çözme, matematik ögretimi-ögrenmenin asil odagidir. Belirtilen bu yaklasim, bir süredir matematik egitimcilerinin konuya ayri bir önem vermesine, 1980 sonrasinda ögretim programlarinin yeniden yapilandirilmasina ve farkli biçimde düzenlemesine neden olmustur. Bu incelemede, ilkögretim matematik programinin çatkisini ve temelini olusturan bilesenler  animsatilarak yenilik hareketlerinde yapilan bazi yapisal degisiklikler ve açilimlar açiklanmaktadir. Özellikle ögrencilerin yasantilarindan yola çikarak  gerçek dünya problemlerinden bir takim seçilmesiyle ilk adimin atilmasi, yapisalci (olusumcu) egitim felsefesi anlayisiyla ilkögretim matematik ögretim programi çerçevesinde ögrenme-ögretme etkinliklere dönüstürülmesi önerilmektedir.

Gelismeyen degisemez;

degismeyen de dünyaya ayak uyduramaz.


Yalnizca matematik degil, her dersin ögretim ve egitim programinin (müfredatin), kendine özgü genel bir felsefesi, gelistirilmis bir uzakgörüsü (vizyonu) ve bir takim özel amaçlari (misyonu) vardir. Belirtilen bu nitelikler, egitim dünyasindaki tartismalarin odaginda yer almakta; ortak görüslerin belirlenmesi ve paylasilmasi, ayrica bu yönde degisim kolay olmamaktadir. Ileri düzeyde gelistirilmis bir ögretim programinda belli amaçlar, bir takim ilkeler ve bilimsel görüsler  dogrulusunda yapilmasi gereken çok sayida önemli isler vardir. Örnegin, içerigini yapilandirmada ve düzenlemede, konularin islenmesinde, ölçme ve degerlendirme vd bilesenlerin arasinda tüm baglantilarin ve geçislerin belirlenmesi, uygulamada ise esgüdümün saglanmasi gerekmektedir. Bu baglamda, son çeyrek yüzyilda ABD ve Ingiltere gibi çok sayida gelismis ülkede matematik ögretimi ve egitimi (MÖvE) konusunda ulusal raporlar hazirlanmis; ayrica, bir dizi güdümlü arastirma projeleri baslatilmis ve etkinlikler desteklenmistir (örnegin, [1-5]). Örnegin, ABD-NCTM (National Council of Teacher of Mathematics: Matematik Ögretmenleri Ulusal Konseyi)'nin 1980'de yapmis oldugu genel çagriya (bakiniz [1]) dayali olarak 1989 ve sonrasinda gelistirilen ölçütler (standartlar) (örnegin, [2,3]) Ingiltere'de 1982'de yayinlanan ünlü Crockoft raporuna [4] dayali olarak gelistirilen ve 1989'da uygulanmaya basliyan ulusal matematik ögretim programinin (bakiniz [5]) yankilari ve bir takim etkileri, yalnizca sözüedilen ülkelerin sinirlari içinde degil, baska ülkelerde de sürmektedir. Bu incelemede, MÖvE programinin çatkisini ve temelini olusturan bilesenler animsatilarak yenilik hareketlerinde yapilan bazi degisiklikler, satir basliklariyla belirtilmekte; bu çerçevede problem çözme yaklasimli ögretim programlari yönünde yenilik hareketleri, hareketi betimleyen bazi özellikler kisaca açiklanmaktadir. Ayrica, problem kurma ve çözme yaklasimli ögretimi etkinlikleriyle ilgili ögretmenin islevi vurgulanarak, ögrencilerin yari açik/kapali uçlu ve açik uçlu problemler üzerinde inceleme yapmalari, mini proje çalismasi etkinliklerine katilmalari, ortak sorumluklari paylasmalari salik verilmektedir. Dahasi, okullarda problem kurma ve çözme yaklasimli matematik ögretimi için ögretmenlerin ögretim programi ve ders plani gelistirmede yeni yeterlikler edinmesin önemi vurgulanmaktadir.

Ne var ki Türkiye'de bir süredir uygulanagelen ögretim programlari çok yönlü, derinlemesine ve ayrintili olarak incelenmedigi gibi yapilan bazi öncü çalismalar da yeterince etkili olamamis; dünyadaki bir dizi gelismeler Türk egitim kamuoyuna yansitilamamistir. Bunun bir eksiklik oldugunun altini çizerek zorunlu egitimin 11 (veya 12) yila çikartilmasinin, ortaögretim okullarinin yeniden yapilandirilmasinin konusuldugu ve tartisildigi bu dönemde ögretim programlarinda köklü degisiklikler yapilmasinin ne denki gerekli oldugunu ve toplumun beklentilerinin degistigini vurgulamaliyiz. Bugüne kadar MÖvE programlarinda gerekli gelismeyi saglamada geciktigimiz gibi, ilkögretim ve ortaögretim ögrencilerin Türkiye genelinde katildiklari test sinavlarinda genel basarisizligini da asil sorun olarak algilayip bir takim degisiklikler yaparak ilerleme ve gelisme saglamayi da yüksündügümüz anlasilmaktadir.  Oysa, açikça bilmeliyiz ki gelismeyen degisemez, degismeyen de dünyaya ayak uyduramaz. Bu bildirin  amaçlarindan ikincisi de, sözkonusu tartismayi Türkiye'de baslatabilmek için MÖvE ile ilgili yenilik hareketlerini kisaca özetleyerek bazi gelismeleri kisaca açiklamaktir. Bu konuda, basta bilim dünyasinin insanlari ve Matematikçiler Dernegi gibi sivil toplum örgütlerin, toplumun degisik kesimlerinin düsünceleri ve önerilerinin belirlenmesinin yararlari vardir diye düsünmekteyiz. 


Problem kurma ve çözme yaklasimli matematik ögretiminin ne oldugu, neden ve nasil bu noktaya gelindigini anlamak için dünyadaki yenilik hareketlerini kisaca animsamak; ayrica yeniliklerin bir takim özelliklerini satir baskariyla belirtmek gerekir. Bu bölümde, gelismeler kisaca özetlenmekte ve ABD'de NCTM'nin hazirladigi raporlarda (örnegin, [2-4 ]) belirtilen bazi görüsler kisaca açiklanmaktadir.

2.1. Genel Bir Bakis

Okullarda MÖvE alaninda son yarim yüzyilda bir dizi yenilik hareketinin baslatildigi, bazilarin zaman içinde yeniden sekillendirilerek ve gelistirilerek sürdürüldügü görülür, Sema 1. Özetle, 1980'li yillarda kavram ögretimi ve problem çözme yaklasimli matematik ögretiminin ön plana alindigi, 1990'li yillarda ise matematik ögretme ve ögrenme etkiniklerinde bilisim (bilgi ve iletisim) teknolojisi (BiTe)'nin gizil gücünden yararlanilmaya baslandigi anlasilmaktadir.




Yeni (Modern)


Temel Islem ve Beceriler










Kavram Ögretimi

Problem Çözme







 Sema 1.  Okullarda MÖvE Alaninda Dünyadaki Genel Yenilik Hareketleri


Daha açikçasi, okullarda MÖvE alaninda dünyada bir dizi yenilik hareketlerinin birbirini izledigi, bir takim gelismelerin oldugu, Türkiye'deki ögretim programlari gelistirme etkinliklerinde ise sözkonusu degisikliklerin genelde gözardi edildigi gözlemlenmektedir. Baska bir anlatimla, 1964'de Türkiye'de  "Fen Lisesi Projesi adi altinda "yeni/modern" matematik/fen programi baslatilmis olup da yeni program, 10 yil içinde Türkiye genelinde yayginlastirilmisti. Daha sonraki yillardaki, örnegin 1970 ve 80'li yillarda OECD ülkelerindeki  gelismeler, Türkiye' de genellikle izlenmedi. Bununla birlikte, 1980 sonralarinda ilkönce ilkokullar, 1990 baslarinda da liselerde kredili sistem yapilandirmasi sirasinda ortaögretim matematik ögretim programlari hedef ve davranislar açiliminda gelistirildi; Türkiye genelinde, önceki  dönemlerde oldugu gibi, ulusal programlar olarak ve yerel degisiklikler yapilmadan uygulanmaya baslandi. Her iki çalismada da 1980 ve 1990'li yillarda dünyada gözlenen MÖvE hareketlerinin izi  ve etkisi yoktur. Dahasi, BiTe'nin matematik ögretme ve ögrenme sürecinde kullanilmasinda asilmasi gereken bir dizi engel bulunmakta olup bu konuda Türkiye'de bazi slogonlar yineleniyor olsa da köklü bir yenilik hareketi henüz yoktur  (örnegin,   [7-9]). 


2.2. Dünden Bugüne Bazi Gelismeler

Yeni MÖvE programlarin genel felsefesi ve vizyonu, 1960 ve 1970'li yillarda gelistirilen ve 1990'li yillarin basina kadar uygulanan programlardan oldukça farklidir. Yeni programlarda problem kurma-çözme yaklasimli matematik ögretme-ögrenme, okul matematigi etkinliklerin odagi olmakta; ögrencilerin analitik ve elestirisel düsünme yetilerinin gelistirilmesine, iletisimde matematigin özgün dilinin kullanilmasina önem verilmektedir. Dahasi, dünkü ve yeni matematik ögretim programlarin dayanagindan biri olan egitim psikolojisi ve ögretme/ögrenme kuramlari birbirinden oldukça farkli oldugu gibi ögretim/ögrenme ortaminin düzenlenmesi de bir takim  farkliliklar oldugu bilinmektedir, Sema 2. Örnegin, geleneksel matematik ögretimi vizyonunda islemsel bilgi ve beceri edinme ögretim programinin yapi ögeleri içinde oldukça agirlikli iken BiTe destekli/yardimli matematik ögretimi vizyonunda islemsel beceriler bir takim hesaplama araçlari  kullanilarak yapilmakta, temel kavramsal bilgi ve yansitmaya daha fazla önem verilmektedir. Bu çerçevede, problem çözme yaklasimli matematik ögretimi ve ögrenme, ileri düzeyde düsünme ve uslama, vb beceriler, düzenlenen etkinliklerin odagina yerlestirilmektedir


 Sema 2. Matematik Ögretimi Etkinliklerinde Bazi Bilesenlerin Agirliginin Göreceli


Belirtilen köklü yeniliklerin baslica bir nedeni, kosullari ve süresi ne olursa olsun egitim süreci sonunda genel beklenti, tüm ögrencilerin, hizla degisen dünyada ve hizlica artan bilgi birikimine erisebilmesi; onu kullanabilmek ve özümseyebilmek için problem çözme bilgi ve becerilerine sahip olmasidir.  Dahasi, is dünyasinda daha nitelikli ürün ve hizmet üretimi, verimliligin artirilebilmesi için bireylerde problem çözme becerilerinin gelismis olmasi beklenmektedir. Özetle denebilir ki problem çözme, yaratici ve elestirisel düsünme gibi yüksek düzeyde düsünme yeteneklerini gelistirme yönüyle okullarda MÖvE etkinliklerinin ayrilmaz  bir öge olmanin ötesinde birlestirici yapi harci olmustur. Ancak, her ülkede problem çözme yaklasimli matematik ögretimi kavramindan anlasilanlar, ayrica slogan gibi yinelenen bu yeniligin uygulamada biçimi, düzeyi ve yayginligi tam bilinmemekte ve bilinen bazi yönleri ise tartismalidir.

Öte yandan, belirlenen genel amaç dogrultusunda, ögrencilerin ögrenme sürecine etkin katilimi için egitim ortamlarinda bir takim düzenlemeler yapilmakta, ögretmenin islevi ve rolleri yeniden betimlenmekte, ögretim/ögrenme ortamini zenginlestiren bir takim egitbilimsel ve bilissel araçlar gelistirilmektedir. Örnegin, 1980'li yillarin ortalarindan baslayarak ögrenme ve ögretme sürecinde, problem çözme etkinliklerinde hesaplama araçlarindan hesap makinesi (HeMa)'nin yaygin ve etkin bir biçimde kullanilmasina yer verilmekte; ögrencilerin etkilesimli bir ortamda birlikte takim olarak isgörmeleri ve sorumluluklari paylasmalari özendirilmektedir (örnegin, [9]). 



Her düzeyde okullar için ögretim ve egitim programlarinin gelistirilmesinde izlenen süreçler birbirine benzer. Bazi dönemlerde yenilik dalgalari olup bundan etkilenen ülkelerin sayisi oldukça çoktur.

3.1. Gelistirilen ve Yenilenen Ögretim Programlarin Genel Çatkisi

Geçen son çeyrek yüzyilda matematik ve matematik ögretimi konularinda sürekli evrim geçiren düsünceler gelistirildi; bazilarin denemelerle görüslerin dogrulanmasi yönünde uygulamali alan çalismalari yapildi. Konuyla ilgili olarak çok sayida ülkede yenilik hareketleri baslatildigini, uzaktan da olsa izlemekteyiz. Izledigimiz yenilik hareketlerinde, bir dizi proje gelistirildigini, pek çok bilimsel toplanti düzenlendigini, toplantilarda arastirma bulgulari açiklandigini; öneriler sicak bir atmosferde tartisildigini ve bir takim kararlar alindigini bilmekteyiz. Örnegin, her dört yilda bir düzenlenen Uluslararasi Matematik Egitimi Kongresinde (ICME: International Congress on Mathematics Education) ortalama 25 ana baslik altinda yüzlerce bildiri sunulmakta, binlerce kisi bilimsel toplantidaki çesitli etkinliklere katilmaktadir.

Sema 3.   Ilkögretim MÖvE Programinda Hedef Kitle ve Asil Erekler

Bu tür etkinliklerle ve alan yazininda yer alan incelemelerin sonunda matematik ögrenme sürecinin dogasi, matematigi yapma ve anlamayla ilgili deneyimlerimizin anlami biçimde gelistiginin altini çizmeliyiz. Özellikle, ögrenme kuramiyla ilgili anlayis degisiklikleri, bilim ve teknolojideki hizli gelismelerin birey ve toplumun gereksinimlerini degistirdigini, egitimden beklentileri büyük ölçüde etkiledigini belirtmek gerekir. Sözkonusu gelismeler, degisme neden olmakta; okullarda MÖvE'nin genel felsefesi basta olmak üzere amaçlarinin da yenilenmesini gerektirmektedir. Konuyla ilgili bazi yenilik hareketlerinin çatkisi, Sema 3'de görülmektedir.

Sema 3'de belirtilen genel çatkiya bakildiginda herkesin, açikçasi çocuk, genç yetiskin her yurttasin, matematik okur-yazari olmasinin ve matematikte güçlenmesinin ne denli gerekli oldugu anlasilir [11]. Ancak, belirtileni gerçeklestirmek söylenildigi kadar kolay bir is ve süreç degildir. Bu konuda Türkiye'de yapilmasi gereken çok is oldugu, basta matematikçi ve matematik egitimcisi bilim insanlari ve ögretmenler olmak üzere çok sayida kurum ve kurulusun ortak amaçlar dogrultusunda  isbirligi yapmasinin gerekli oldugu anlasilmaktadir.

3.2. Ögretim Programlarinda Yenilikler ve Hedefler

Ögrenme/ögrenme kuramlariya ilgili olarak 1960'li yillarda MÖvE programlarinin gelistirilmesinde önemli etkisi olan "davranisçi" yaklasimin 1980 sonralarina dogru eski etkisini yitirdigini, yerini yavas yavas "bilissel" yaklasima biraktigini, yapilandirmaci (olusturmaci) egitim anlayisinda ögrenmenin etkili olmaya basladigini gözlemlemekteyiz. Yapilandirmaci egitim anlayisina göre, bilgi bir bireyden digerine dogrudan aktarilamaz, ancak bireyin etkin çabasi sonucunda kendi zihninde yapilandirilarak olusturulabilinir. Bu süreçte, kisinin geçmis yasantilarinin ve çevrenin etkisi vardir.

Sözkonusu gelismeleri, bilim insanlarinin katkilarini ve tartisma konularinin degil kendisini açiklamaya konu basliklarini bile listelemeye bu incelemede ayrilan yer ve zaman dilimi yetmez. Bu nedenle, bazi yenilikleri satir basligiyla animsatmak yararli olacaktir. Örnegin, Çizelge 1'de 1960'li yillarda özellikle OECD ülkelerinde baslatilan "yeni (modern) matematik" dalgasi ile 1980'li yillarda daha çok bati ülkelerinde esen, problem çözme ve matematik ögrenme-ögretme sürecinde ve etkinliklerinde BiTe'ni kullanmaya yönelik köklü yenilik hareketinin bir takim özellikleri satir basliklariyla özetlenmektedir.

Çizelge 1. Köklü Yenilik Hareketlerinde MÖvE Programinin Özellikleri



Problem çözme için temel bilgileri ögrenme ve gerekli becerileri edinme, matematik ögretiminin basat nedenidir (örnegin, [10, 12-14]). Bu konuda yabanci dillerde yazilmis çok sayida yapit ve hazirlanmis basvuru kaynagi olmasina karsin türkçe basvuru kaynagi çok azdir, bir kisminda, örnegin ders kitaplarinda bazi kavram yanlislari da bulunmaktadir. Belirtilen nedenle, bu bölümde problem kurma ve çözme ile ilgi temel noktalardan kesitler animsatilarak bir kismi kisaca açiklanmaktadir.

4.1. Problem Kurma ve Çözme  

Problem, günlük yasantimizda sikça kullandigimiz bir sözcüktür. Kavram olarak, matematikte, fen ve toplum bilimlerinde kullanildiginda anlami, daha farklidir ve açikça bilinmelidir [14]. Her ne kadar "problem nedir?" sorusunun tek bir yaniti yok isede üzerinde anlasilabilecek tanimlardan biri olan, "Problem çözme, ne yapilacaginin bilinmedigi bir zamanda ne yapildigidir" düsüncesini paylasmaktayiz. Problem çözme, bilindigi gibi eskiden kazanilmis olan bilgileri yeni ve alisilmadik durumlara uygulama sürecidir.  Kitaplarda yer alan sözel problemlerin dogru yanitinin ne oldugunu bulma, problem çözmenin bir türüdür. Ancak, problemin özelligine göre sorunun ek bir dogru yaniti yerine  gerçek dünya problemlerinin birden çok akla yatkin yanitlari olabilir. Bu tür problemler, matematik ders kitaplarinda örnek olarak açiklanan, alistirma veya ev ödevi olarak yapilmasi istenen sorulardan oldukça farklidir. Egitimciler ve psikologlar, yaklasik 70 yildir problem ve problem çözme ile ilgili konular ve sorunlarin çözümü üzerinde çalismakta, düsünceler üretmekte ve öneriler gelistirmektedir [10,12-15].

Yukarida açiklanan nedenlerle, tüm ögrenciler kendi gelisim çizgilerine uygun ders kitaplarinda ve bazi yardimci kitaplarda yer alan sorulari çözebilecek düzeyde bilgi ve beceri edinmeleri gerekir. Bunun yanisira, matematikte güçlenmek ve okur-yazarligi gelistirmek için ögrenciler kitap disi problemlerle de karsilastirilmalidir.  Problem çözme stratejileri; ortaya soru atma, durumu analiz etme, verileri sonuçlara çevirme, sonuçlari örnekleme ve sekilleme, diyagram çizme ve deneme-yanilma yolunu kullanmayi içermektedir.  Problem çözerken, ögrenciler geçerli sonuçlara ulasabilmek için gerekli mantik kurallarini uygulamak zorundadirlar.  Ayrica, ögrenciler, problemde hangi gerçeklerin iliskili oldugunu belirlemeli; kesin olmayan sonuçlara ulasmak ve bu sonuçlari dikkatle incelemek konusunda istekli olmalidirlar. 

Alan yazininda problem çözme becerilerinin genis kapsamli beceri oldugu belirtilerek MÖvE programlarinda gelistirilmesi gerektigi vurgulanmaktadir.  Örnegin,  NCTM'nin MÖvE alaninda ilk yenilik hareketi baslatmada büyük etkisi olan "Agenda for Action"' (Hareket için Gündem)'da [1] baslikli temel yapitta,   "1980'lerde problem çözme, okul matematiginin odak noktasi olmasi gerekir" (s.2) diye kuvvetlice vurgu yapilmaktadir. Ayrica, bu öneriyi gerçeklestirmek için  (a) "Matematik ögretim programi, problem çözmenin çevresinde düzenlenmeli" (s.2), (b) "Problem çözmeyi ögretmek için uygun ögretim programi araç ve gereçleri bütün sinif düzeyleri için gelistirilmeli"(s.4), ve (c) "1980'lerin matematik progamlari, bütün sinif düzeylerinde uygulamalari sunmakla yapilan prblem çözmeyi kapsamalidir" (s.4) denmektedir. Dahasi, NCTM'nin Okullarda MÖvE ile ilgili basvuru kaynaklarindan "Principles and Standards for School Mathematics" (Okul Matematigi için Ilkeler ve Ölçütler) [3] adli kaynak yapitta, önceki çalismalara atif yapilarak tüm ögrenciler için problem çözmeyi asagida açiklandigi biçimde belirlemektedir. Okul öncesinden K-12 (lise son sinifa) kadar ögretim programlarinda tüm ögrenciler:

·       Yeni matematik bilgileri, bastan sona problem çözmeyle insa edilmelidir;

·       Matematik ve diger baglamlarda görünenproblemleri çözmeliler;

·       Problem çözmek için çok çesitli uygun stratejileri uygulayabilmeli ve uyurlayabilmeli;

·       Problem çözme sürecini izleyebilmeli ve yansitabilmelidir.

Böylece, matematikte problem çözmeyi ögrenerek ögrenciler, düsünmenin yollarini, merakli ve israrli olama aliskanligini, matematik dersliklerinin disinda  alisik olunmayan durumlarda da kendine güven kazanirlar. Iyi bir problem çözücü olmak, her günkü yasamda ve is yerlerinde büyük üstünlük saglayabilir.

4.2. Etkinlikler için Açik Uçlu Problem Ortaya Atma veya Olusturma

Ders kitaplarinda yer alan matematik sorulari, genellikle alistirma türünde olup çogu bilinen algoritmayi uygulayarak küçük parçalara ayrilmis bilgiyi yineleyerek ögrenmeye ve bir takim becerileri pekistirmeye yöneliktir. Ögrencilerin bilgilerini yinelemeleri veya  ev ödevi olarak ünite veya bölüm sonlarinda siralanan matematik sorularinin çogu islem agirlikli olup problem niteligi olan az sayida soru ise kapali ve tek dogru yaniti olan ve bazen bir adimla degil birkaç adimla çözülebilecek yapida, bir kismini çözmek için oldukça uzun islemler yapmak gerekmektedir. Bununla birlikte, ögrencilerin kendilerinin problem kurmasi ve çözmesi, inceleme ve arastirma yaparak bilgiye erismesi, bir kural veya yöntemi bulgulama olanagi ve firsati hemen hemen yok gibidir. Ögretmenlerin büyük çogunlugu, kendi ögrenciliklerinde bir konuyu nasil ögrenmislerse o biçimde ögretme aliskanliklarini edinmis olup söylemle bunun degistirilmesi nerdeyse olanaksiz olup yeni yöntemleri benimsemeleri ve okullarda uygulamalari için bir takim yeterlikler kazanmalari gerekir [11].

Problem çözmedeki etkinlikler, ilgili bir problem ortaya atma için bir geçis asamasi olarak kullanilir. Gonzales [16], Polya'nin [10] dört adimli yöntemine besinci adimi ekler: ilgili bir problem ortaya atma. Ögrencilere çözdükleri problemleri yeniden gözden geçirmeleri ve verilen bir problem ifadesinin bir degisik biçimini veya daha kapsamlisini üreterek her bir probleme besinci bir adim eklemeleri ögretilir. Ögrencilerden çözümledikleri problemlerin degisik biçimlerini üretmeleri istenir. Örnegin, ögrenciler verilen verinin degerlerini degistirerek, verilen ve istenilen bilgiyi ters çevirerek veya özgün problemin içerigini degistirerek ilgili bir problem ortaya atmis olurlar.

Verilen bir problemin degisik bir biçimini ortaya atma için bazi yararli teknikler vardir. Bu teknikler tek basina kullanilabildigi gibi, birkaç teknik birlestirilerek de kullanilir.

§           Verilen ve istenilen bilgiyi ters çevirme

§           Yeni bilgi ekleme

§           Kosullari ve konuyu degistirmeyip, verilen verilerin degerlerini degistirme

§           Verilen verileri ve kosullari degistirmeyip, konuyu degistirme

§           Verilen verileri ve konuyu degistirmeyip, kosullari degistirme

§           Baglami veya problemin kurulusunu degistirme

§           Verilen bir ifadenin bir veya daha fazla parçasinin çelismesi [17].


Bir diger problem üretme etkinligi ise, esas bilesenin eksik oldugu durumlardir. Bu tür etkinlikler, kisaca, "matematiksel durumlar" olarak adlandirilir. Böyle durumlar, matematiksel olarak veri ve bilgi içeren zengin ortamlardir. Ama, pek çok durumda ortada atilan hazir bir soru yoktur; amaç veya beklenti açiklanmis olabilir. Ögrenciye verileri ve bilgiyi kullanarak bir problem ortaya atmasi için izin verilir. Özellikle, istatistiksel grafikler birçok veriyi içeren çok elverisli ve uygun özellikler içeren matematiksel durumlardir. Günlük gazetelerde, dergilerde veya internetten de sözkonusu matematiksel durumlarla ilgili örnekler bulunabilir.

Matematiksel bilgiler, islemsel ve kavramsal bilgileri içerir ve matematik ögretiminde problem çözerek iki bilginin bütünlestirilmesi gerekir. Diger bir anlatimla, problem çözmede matematik uygulanmali ve kullanilmalidir. Bu amaçla, okul MÖvE programlari yeniden yapilandirilmalidir. Gerek ders kitaplarinda gerekse günlük yasamda çözülecek problemlerin çogu sayi kavramlari ve bunlarla yapilacak islemleri gerektirir. Ne var ki sayi kavrami, aslinda soyut oldugundan, çocuklarin soyutlamayi yapabilmesi için degisik durumlarla karsilasmalari, kendi çevrelerinden örnek durumlari incelemeleri, gerçek yasamla ilintilemeleri yararli olur. Örnegin, ölçme etkinlikleri, geometrik sekiller, grafikle gösterimler sayi kavramlarini gelistirmede yarari olan çalismalardir. Bu tür etkinliklerle, matematiksel bilgilerin alt-dallari arasinda iliskiler kuruldugu gibi diger ders konularindan bazilarinda matematiksel bilgiler ve problem çözme becerileri kullanacak biçimde konular islenmelidir.


Problem çözme yaklasimli matematik ögretimi, son çeyrek yüzyilda ögretim programlarinda yapilan yeniliklerin odagidir. Konuyla ilgili olarak alan yazininda yer alan arastirmalarda ve proje raporlarinda sorun çok yönlü tartisilmis olup bu konuda ögretmenlerin aliskanliklarinin, genel egilimlerinin ve inançlarinin yenilik hareketlerini okul düzeyinde gerçeklestirmede ve sinifiçinde uygulamalarda önemli ve gözardi edilmemesi gereken etmenler oldugu anlasilmaktadir. Daha açikçasi, zaman zaman yenilenen programlar çerçevesinde yayinlan yeni ders kitaplari da belirgin bir özgünlügü olmadigi gibi matematik sorularinin yapilandirmasinda bati ülkelerinde olanlarla ayni düzeyde degildir. Ders kitaplarin ögrencinin ilgisini yeterince çekmedigi, onlari arastirmaya yönlendirmedigi, çocuk ve gençlerin düsgücünü ve imgelemesini gelistirmeye katkisinin olmadigi gözlemlenmektedir. Özellikle, gerçek yasamla dogrudan iliskli tema tabanli proje çalismalarina okullarda yer verilmemekte; bu nedenle, ögrencilerin özel ilgi alanlari, yetenekleri ve yaraticilik güçleri belirlenememektedir. Bu durum, Türkiye'deki uygulamalarin çagdaslarinin ne denli gerisinde kaldiginin açik belirileri oldugu unutulmamalidir.

Bu bildiri metninde belirtilen düzeyde ve niteliklerde, bildigimiz kadariyla, Türkiye'de henüz köklü yenilik hareketleri ve gelistirilmekte olan MÖvE programi yoktur. En kisa sürede MÖvE programlarinda köklü yenilik yapilmali ve ders kitaplari yenilenmelidir. Yenilik hareketini baslatacak güdümlü ve uzun erimli projelere gereksinim olup ögretim programlari gelistirme etkinlikleri çok yönlü ve boyutlu arastirmalara, ve alanda bir takim denemelere dayanmalidir. Ayrica, ögretim araçlari gelistirilerek ögretmenler bilgilendirilmeli; bir takim yeni yeterlikler edinmelerinde ögretmenlere yardimci olunmalidir. Bu konuda yalnizca yüzyüze egitim yeterli olmayip çagin teknolojisi olan BiSa ve internetten yararlanilmali; okullarda matematik ögretiminin yapildigi ortamlar, yani derslikler, küçük bir laboratuar gibi yeniden düzenlenmelidir. Örnegin, matematik dersliklerinde yeter sayida HeMa, en az bir ögretmen BiSa olmali; internet erisimi saglanmali, BiSa ekran görüntülerini, çalisma yapragi türünden yansilari perdeye yansitacak teknik donanimlar bulunmalidir.

Yukarida deginilen yenilikler, bir adimda ve kolaylikla yapilabilecek bir is olmadiginin bilincinde olmamiz, okullarda MÖvE iyilestirme yönünde projeler gelistirmemiz, altyapi ve insan kaynaklari  basta olmak üzere arastirma ve gelistirme etkinliklerine sürekli ve düzenli yatirim yapmamiz gerekir. 


 [1]   NCTM (1980). Agenda for Action. Reston,VA: National Council of Teachers of Mathematics Pub.

 [2]  NCTM (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics Pub.

 [3] NCTM (2000), Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics Pub.

 [4]  Cockroft, W. H. (1982), Mathematics Counts.  London: Her Majesty's Stationary Office.

 [5]  Mathematics in the National Curriculum (1989). London: Her Majesty's Stationary Office.

 [6]  Ersoy, Y. , Gür, H. (2004) "Problem kurma ve  çözme yaklasimli matematik ögretimi-I: Ögretmen egitimi denemeleri ve bazi sorunlar". Ankara: Matematik Sempozyumu  (MaDeS-4, 5-7 Mayis, 2004) Bildiriler Kitabi-2004Ankara: Matematikçiler Dernegi Yay. (basimda)

 [7]  Ersoy, Y. (1992). "Mathematics education in Turkey: Challenges, constraints and need for an innovation". In: Proceedings of IACME-8, Paris: UNESCO Pub. (ED-92 WS-11), 156-158.

 [8] Dolgas, K. A., Elias, J.S. (1996). "New directions in the teaching of mathematics, science, and technology". Int. J. Mathematics Education, Science and Technology, 27, 725-729.

 [9] Ersoy, Y. (2002).  "Bilisim teknolojileri ve matematik Egitimi-II:Köklü yenilikler ve bilissel araçlarin etkileri". Matematik Sempozyumu Kitabi-2001 (Düzenleme: O. Çelebi, Y. Ersoy, G. Önel); 7-26; Ankara: Matematikçiler Dernegi Yay. (2002)

[10]  Polya, G. (1945). How to Solve It. Princeton, NJ; Princeton University Press.

[11] Ersoy, Y. (2002). "Matematik okur yazarligi-I: Genel amaçlar ve yeterlikler". Matematikçiler Dernegi Bilim Kösesi. http://www.matder. _YEma11MOY1_files.htm

[12]  Pehkonen, E. (1991). "Problem solving in mathematics-Introduction", Zentrallblatt fur Didaktik der Mathematik (ZDM), 1, 4-8.

[13]  Schoenfeld, A. H. (1992). "Learning to think mathematically:  Problem solving, metacognition, and sense-making in mathematics. In De Grouws (ed), Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning, New York: MacMillan, 334-370.

[14]  Çömlekoglu, G. ve Ersoy, Y. (2002). "Matematik problemi ve problem çözme-I: Bazi düsünceler ve öneriler". Matematikçiler Bülteni (özel sayi), 2002, 6-9.

[15]  Korkmaz, E., Gür, H., Ersoy, Y. (2004). "Ögretmen adaylarinin problem kurma becerilerinin belirlenmesi" (yayina hazirlanmakta).

[16]  Gonzales, N. (1998). "A blueprint for problem posing". School Science and Mathematics, 9 (Dec), 448.

[17]  Lave, J., Smith, S., Butler, M. (1989). "Problem solving as an everyday practice". In Sowder, J.T. (ed.), Teaching and Learning Mathematical Problem Solving: Multiple Research Perspectives, Reston,VA: National Council of Teachers of Mathematics.


           UK- MatematIGI kullanma VE UYGULAMA*

Genel Amaç: Ilkögretim çaginda ögrenciler, gerçek yasamlarindaki problemleri çözmek için ve matematigin kendisini inceleyebilmek için sayilar, uzay ve sekiller, ölçme ve ölçüler, sayisal veriler, v.b matematik kavramlari, kurallari ve islem bilgileri kullanmalilar.


Erisilecek Hedefler: Zorunlu ögretimi (lkögretimini) tamamlayan her ögrenci, asagida her sinif düzeyinde belirtilen bir dizi hedeflere eriserek; Matematik ögretimi ve egitiminin genel amaçlar çerçevesinde gerekli bilgi ve becerileri edinir. 






·       Problem çözmede matematiksel kavramlarin ve kurallarin anlamini bilmeli ve yerinde kullanmalidir.

·       Arastirma veya inceleme için verilen araç-gereçleri (materyali) kullanmalidir.

·       Kendi çalismalari, yaptiklari hakkinda konusmali ve soru sormalidir.

·       Deneyimlerine dayanarak problemin sonuçlari hakkinda tahmin yapmalidir.






·       Problem çözmede matematiksel kavramlari ve kurallari ve matematigin kendine özgü dilinden yararlanarak gerekli dört islemleri yapmalidir.

·       Arastirma veya incelemede kullanmak için araç-gereçleri (materyali) ve kullanacagi uygun matematigi seçmeliler.

·       Bir isi tanimlayip bulunanlari kayit etmeli, sonuçlari hesaplama araçlarini (örnegin zihinden, kagit-kalem ve hesap makinesi) kullanarak kontrol etmeli.

·       "Eger ............. olasyidi ne olurdu?" gibi sorulara yanit aramali; olasi durunlari incelemelidir.







·       Arastirmada kullanmak için araç-gereçleri (materyali), uygun matematigi seçmeli ve kullanmalidir.

·       Islemlerden sonra elde ettigi sonuçlari kontrol etmeli, mantikli olup olmadigini incelemeliler.

·       Yapilan Isi, bulduklarini açiklamali ve düzenli bir sekilde kayit etmeli.

·       Islem sonuçlariyla ilgili tahminlerde bulunmali ve bunlari sinamali (test etmeliler).






·       Arastirmada kullanmak için araç-gereçleri (materyali) ve matemetigi seçmeli, yapacagi seyleri metodsal olarak planlamalidir..

·       Bulunan sonuçlari sözlü, yazili veya görsel bir biçimde açik ve anlasilir olarak sunmalidir.

·       Örnekler kullanarak matematiksel ifadeleri veya tanimlari sinamali (test etmelidir).



·       Arastirmada kullanmak için araç-gereci (materyali) ve matemetigi seçmeli, yeterli bilgi olup olmadigini kontrol etmeli; bir arastirmanin gelisme basamaklarini incelemelidir.

·       Matematilsek bilgileri sözlü, yazili veya görsel bir biçimde dinleyiciye/izleyiciye sunmalidir.

·       Üzerinde çalisilan bir problemin olasi sonuçlari hakkinda tahminlerde bulunmali ve bunlari sinamali (test etmelidir).




·       Uygun matematigi ve kaynaklari kullanarak bir arastirma ve inceleme projesi taslagi hazirlamalidir.

·       Yeteri kadar veri veya bilgi olup olmadigini kontrol etmeli; eksik olanlari deneme yanilma metodu ile bulmalidir.

·       Sözlü, yazili, görsel kayitlar tutmali; bulunanlari matematigin kendine özgü dilini kullanarak izleyicilere etkin bir biçimde sunmalidir.

·       Bazi genellemeler ve küçük hipotezler yapmali ve bunlari test etmeli; nedenlerini basit bir biçimde yazili olarak kanitlari ile açiklamalidir.











·       Matematikle ilgili arastirma yaparken sorunlara bilimsel çalisma ilkeleri ile yaklasmali; hazir bilgilerin hangisini kullanacagina karar vermeli ve deneme yanilma yöntemini kullanmalidir.

·       Yanlis yapilmadigindan emin olmak Için bir kez yapilanlari kontrol etmelidir.

·       Matematiksel nedenleri takip etmeli ve yanlisliklari düzelmelidir.

·       Farkli yaklasimda bulunurken arastirmayi farkli bir çizgide de sürdürmelidir.

·       Metodsal bir sekilde çalisarak, ayrinli bir plan hazirlayarak, matematiksel bir arastirma gelistirmelidir.










·       Basarili bir sonuç için matematiksel bir arastirmayi tasarlamali, planlamali ve bitirmelidir.

·       Bir arastirmada çikabilecek problemleri azaltmak için  bilgileri tekrar konrol etmeli, sonuçlarin dogru siralarda olmasina dikkat etmelidir.

·       Varsayimlarin dogru, yanlis  ya da ispatlanmamis olup olmadiklarini belirtmeli, daha sonra bunlari uygun örnekleri kullanarak ispatlamalidir.

·       Arastirmalarinda seçenekli (alternatif) çözümler göstermeli ve seçilen yolulari açiklamalidir.

·       Sembollerden yararlanarak gerekli  tanimlamalari yapmali, ispatlarin çelismesini kullanarak yeni ispatlar yapmalidir.

·       "Eger.................olsaydi,............. olurdu" türünde ifadeler kullanmali.


*Kaynak: Mathematics in the National Curriculum (1989). London: Her Majesty's Stationary Office.

Bu konuda Ingilterede 1989'da yenilen ulusal matematik programinin "Applying and Using Mathematics: Matematigi Uyulama ve Kullanma" bileseninde belirtilen hedefler, örnek açiklama  olmasi bakimindan Ek A'da listenenmis biçimde özetlenmestir. 

Davranisçi yaklasimin temsilcilerinden Bloom, Gagne, vd, bilissel yaklasimcilardan Piaget, Dienes, Bruner, vb matematik ögretimine katkilarini

ve bir takim etkilerini  belirtmekte yarar vardir.

Eger sözkonusu özellikler yoksa, programa yeni demek yerine gözden geçirilmis veya yeni düzenlenmis program denmelidir.

Nitekim, hangi alanda olursa olsun ögretim ve egitim programi gelistirme, herseyden önce uzmanlik gerektiren disiplinlerara-si çok boyutlu bir ugrasi olup bu incelemede konunun ayrintisina girilmeden, yalnizca yenilik hareketleri hakkinda özet bilgiler sunulacaktir.

Örnegin, ABD-NCTM ve Ingiltere'deki yenilik hareketlerine benzer çalismalarin son yillarda Kanada ve Avusturalya'da da gerçeklestirildigi, MÖvE programlarinin benzer yapi ögeleri içerdigi bilinmektedir.

Problem kurma ve çözme yaklasimli matematik ögretimi konusunda bir grup ögretmenin katililmasiyla yapilan çalismalardan edinilen izlenimler ve karilasilan bazi sorunlar, bu toplantida yazarlar ayri bir çalisma olarak sunmaktalar [6].   Ayrica, bu toplantida Problem Kurma ve Çözme konusunda bir çalistay (islik çalismasi) düzenlenmis olup gerçek yasamdan birkaç problemin ögrenci odakli etkinlik olarak düzenlenmesine yer verilmektedir.

Dünyada köklü yenilik hareketleri ve okullarda MÖvE program gelistirme etkinlikleri oldukça genis kapsamli bir inceleme alani olup konuyla ilgili bazi gelismeler ayri bir çalisma olarak rapor edilecektir.

ICME-10, 4-7 Temmuz, 2004 günlerinde Kopenhag-Danimarka'da düzenlenmis olup daha önce Kanada, Japonya, Ispanya oldugu gibi çok sayida arastirmaci ve egitimcinin çesitli etkinliklere katilmasi beklenmektedir.