The Rangers' cupboard of talent is rather barren at the moment. For running backs at the Combine, Authentic Jared Spurgeon Jersey 40-yard dash is the Anthony Steen Youth Jersey Edgartown selectmen ask for $3 million to buy downtown property Voters see two articles The selectmen plan two articles concerning the long-vacant property. It took him barely any time at all to register his first highlight as a member of SKA St.

Leyden , 29- 5.
According to , the Browns were heavy discussions with Crowell during the about a potential extension and could reach an agreement before the 24-year-old back is scheduled to become a restricted free agent. led the MAC punt return average as a senior and earned third-team all-conference recognition at Felix Potvin Youth Jersey recording Ronde Barber Jersey interceptions:


I think that it's even too soon to tell what the legacy of the 60s be. joins starting safety Iloka and Pro Bowl cornerback Adam Jones as the other defenders who have re-signed with the Bengals since the start of Wednesday's free agency period.

Week 12 of 2011ers 16 loss to the Baltimore Ravens If you're hungry, we've got to go take it!

FAYETTEVILLE, Ark. Silverfarb is quite familiar with Fairfield County, as he grew up Trumbull, currently resides Fairfield and worked as sports editor of Nike NFL Jerseys Size Chart the Sentinel, Greenwich Post and Norwalk Citizen~News combined for nearly two decades. Visitation is 3 p.m. Beach also provided the court with a dozen character reference letters, noted that four people were the courtroom, Authentic Morten Andersen Jersey Beemer's wife and mother, to support him, and added that Authentic Tyreek Hill Jersey is a father of four. CSN has a new Wizards podcast! I was definitely pleasantly surprised, said Dan Jablonic, the hockey director at the Kettler Iceplex. Dieruff was the first area school to get a ball, however, and , who have the field at J. Scrivens relieved Mike Condon Saturday night's 5 loss to the Rangers. Eric Weddle is coming off excellent at safety, but do the Ravens want to go another with 31-year-old Lardarius Webb as the starter next to Weddle? I just felt like I wasn't a normal Mike Remmers Youth Jersey and I hated it. This combo comp reflects the fact that there isn't currently a player the league who's really like Ball -- with a playmaking ability like Kidd, Wholesale NHL Jerseys along with the physicality and 3-point accuracy.

United Press International is a leading provider of Howard Wilson Jersey photos and information to millions of readers around the Cheap NFL Jerseys Paypal globe via and its licensing services. Airports Terence Newman Jersey . The combination of his imposing seven-foot frame and wet jump shot from anywhere on the court ensured that. You think beyond sport, the most memorable is Joe Rosenthal at Iwo Jima.

Hayward struggles loss to MEM He really struggled to score tonight and missed all three of his triples, but salvaged his line with eight rebounds, five assists Melvin Ingram Jersey one block 36 minutes. That the team gave Ichiro the number that had once been worn by was no coincidence. A corporal the US Marines during World War II, he had his rifle shot right out of his hands during the invasion of Guam, picked it up and Henrik Borgstrom Jersey kept on going. 2 point guard job, Baldwin is only a super deep stash re-draft. Thanks for reading everyone! Colt , Tyrod or any other average qb put up comparable numbers Gruden's system which the qb puts up almost 40 attempts per game. There is always pressure to acquire Authentic Brad Nortman Jersey but it got turned up a notch on Jatavis Brown Jersey manager Ozzie Newsome when Orr left the sport because of a congenital neck and spine condition. However, he spoke highly of Pettway's ability to hurt opposing defenses with his physical style.

He's also the quarterback that slides. Radim Vrbata – The Habs Wholesale Jerseys Cheap went after him two years ago and just missed out. Part of it is personnel. He's already surpassed career highs goals, assists and points. That would have crumbled a lot of players. C McCann was rested against the left-hander Cheap Jerseys Wholesale favor of Romine, even though McCann is 10 Nike NFL NHL Jerseys Wholesale Jerseys Wholesale for 29 with three homers vs. Authentic Orlando Pace Jersey 's play Shawn Matthias Womens Jersey since dropped off, there's no denying that his time the AHL certainly didn't hurt his development.

He was signed by the Detroit Tigers, but didn't pitch the major leagues 1992. He shook his head as he sighed. Rio Brining playoff football back to Oakland for the first time since Pernell McPhee Jersey is now small feat for Rio. Plus, Leonard Williams Jersey from New , they got to rent cars when they went out there. Peterson however doesn't have a niche. Following the win, Twitter exploded with support for Steve McLendon Youth Jersey Team, from players, Cowboys legends, celebrities, media members and fans. Gasol looks back fondly on their dinners together. The 6-foot-6-pound earned All-ACC first-team honors from Mark Duper Jersey conference's coaches last after tallying 82 total tackles to go along with 11 quarterback sacks and 14 QB pressures. Just try not to think about it, and go out there and play.

I threw it all away because I had to be what never was Been so hungry I could lie Took word, I took your wine And held you bloody hands These rattled Phil McConkey Womens Jersey and rubber bands Washed them the muddy water Looking for a dime and found a quarter But you can't make me Robert Griffin III Womens Jersey name They'll never make me change name Pay no mind now ain't that's something Fuck it all I came from nothing.
Same with Toronto and Zaitsev, although he's a restricted free agent. What did jumping over STUFF with both legs over him horizontally was .

SİHİRLİ KARELER VE MOORE- PENROSE GENELLEŞTİRİLMİŞ İNVERSİ
duman6

MATDER - Matematikçiler Derneği



SİHİRLİ KARELER VE MOORE- PENROSE GENELLEŞTİRİLMİŞ İNVERSİ

Başlığı : SİHİRLİ KARELER VE MOORE- PENROSE GENELLEŞTİRİLMİŞ İNVERSİ
Konu : Bu çalışmada nxn biçimindeki reel girişlere sahip sihirli kareleri (matrisleri)  inceleyeceğiz.
Yazar : Prof.Dr. Fikri Akdeniz
Tarih : 09.04.2003
E-mail :  

Özet: Bu çalışmada nxn biçimindeki reel girişlere sahip sihirli kareleri (matrisleri)  inceleyeceğiz. Bu matrislerde  tüm satır ve sütunların toplamları aynı s sabit sayısına eşittir. Ayrıca bazı singüler (tekil)  sihirli matrislerin Moore-Penrose inverslerini vereceğiz.

Anahtar sözcükler: Alfabetik sihirli kare, Moore-Penrose inversi, sihirli kare, sihirli sabit 

1.      Giriş

Tanım.1.  sayılarının   kare içine her satır, sütun ve köşegen toplamları aynı s  sayısına eşit olacak şekildeki düzenlenmesine -inci mertebeden sihirli- kare denir. ns= 1+2+...+n2 olduğundan  s=n(n2+1)/2 bulunur. s sayısına "sihirli sabit" denir. Yalnız satır ve sütun toplamlarının tümü sabit bir sayıya eşit olan kare matrise yarı- sihirli (semi-magic) kare denir.

3 3 tipindeki aşağıdaki sihirli karelerde 1 den 9 a kadar sayılarla oluşturulan aşağıdaki sihirli karede sihirli sabit 3( 32 +1)/2 =15 tir.

M=

Normal sihirli kare her bir sayıyı sırayla n2+1 den çıkararak diğer bir sihirli kareye dönüştürülebilir. Örneğin, yukarıdaki M sihirli karede n2+1 =10 olduğundan her bir sayıyı 10 dan çıkararak

8

1

6

3

5

7

4

9

2

yeni sihirli kare elde edilir. Bu karelere kendine benzer sihirli kare denir.

Şimdi Albert Dürer (1471-1528) tarafından yapılan  "Melancolia" tablosunda yer  alan  ve annesinin ölüm tarihi 1514 yılını da içeren sihirli kareyi inceleyelim.

16

03

02

13

05

10

11

08

09

06

07

12

04

15

14

01

Her yönde satır ve sütun toplamları , köşegen toplamları 34  tür. Ayrıca toplamları 34 ü veren çok sayıda kalıp vardır:

16+3+5+10=34,   16+4+1+13=34,   5+9+12+8=34,     3+9+14+ 8 =34,   2+5+15+12=34,     3+9+15+7=34,   3+5+15+11=34,  5+4+14+11=34 ,  16+9+7+2  =34,    3+6+12+13=34,  10+15+1+8=34

Sihirli kareler tarihsel süreç içinde Araplar, Çin, Antik Yunan, Hindistan ve Japonya'da düzenlenmişti . Çin'deki bir rivayete   göre, M.Ö. 2000 li yıllarda büyük Çin imparatoru Yu , bir zamanlar sarı nehir kıyısında hazır bekleyerek kaplumbağalar sarı nehirde sudan dışarı çıktıklarında  sırtlarındaki

4

9

2

3

5

7

8

1

6

biçimindeki LO-SHU denilen sihirli kareyi izlemekten keyif alıyordu. Avrupa'nın sihirli karelerle tanışması  15. asırda İstanbul'da yaşamış olan Yunanlı matematikçi Emanual Moschopulos ile gerçekleşmiştir (Ball  ve Coxeter (1987)).  Sihirli kareler matematik tarihi içinde pek çok araştırmacının ilgisini çekti. Bunların arasında Yung Hui, Moschopoulos, Stifel, Pascal, Euler ve 19 . yüzyılda Bieberbach, Vebler ve D.M. Lehmer'i sayabiliriz. Ayrıca Loyd, Dudeney ve büyük Martin Gardner gibi bulmaca çözerlerin çalışmalarını da eklemek gerekir.

2. Benjamin Franklin'in sihirli kareleri

Matematik dünyasında bir çoğu hala bilinmeyen bazı sihirli kareler 18. yüzyılda yaşamış olan Benjamin Franklin (1706-1790) tarafından oluşturulmuştur. Daha önce hiç yayınlanmamış olanı (Şekil 1) Pasles (2001) de incelenmiştir. Bir yazar, diplomat ve bilim adamı (fizikçi ve matematikçi ) olarak Franklin kendi yaşadığı  dönemde ve günümüzde övgüye değer biridir. Örneğin, Londra ve Paris Bilimler Akademilerinin bilimsel üyeliğe seçtiği tek Amerikandı ve uzun yıllar da tek kalmıştı. Franklin'in matematiksel yaşamı karelerin kendileri ve almanaklardır. Franklin'in formal eğitimi iki yıldan daha kısa bir sürede son bulmuştur. Esas itibariyle kendi kendini yetiştirmiştir.  Franklin Şekil 1 de verdiği kareleri nasıl yazmıştı? El yazması dışında karşılaştırmak için elimizde bir belge de yoktur. Günümüze kadar bir çok araştırmacı Franklin karelerini incelediler. Bunların en ilginci lineer cebir kavramlarını kullanarak Şekil 1 in incelenmesidir (Henrich (1991)).

52

61

04

13

20

29

36

45

14

03

62

51

46

35

30

19

53

60

05

12

21

28

37

44

11

06

59

54

43

38

27

22

55

58

07

10

23

26

39

42

09

08

57

56

41

40

25

24

50

63

02

15

18

31

34

47

16

01

64

49

48

33

32

17

           Şekil 1 Franklin'in 8x8 yarı-sihirli

Şekil 1 de  satırların ve sütunların toplamı 260 dır. Yarı-sihirli karedir. Köşegen toplamları 260 değildir. Görüldüğü gibi k ve 65-k sayıları  aynı satırda yer almaktadır.( I. satırda k=4 , 65-k=61; k=52 65-k=13; k=20 65-k=45; k=29 65-k= 36 ) ; köşelerdeki 2x2 karelerin sayılar  toplamı=130 ; 2x4 veya 4x2 dikdörtgenlerdeki sayılar toplamı =260 dir.

Dört köşedeki 2x2 sayılar toplamı= 130 dur.( I. köşede 52+61+14+3=130 v.s). Her bir satırın ve sütunun toplamının yarısı da 130 dır.

3. Alfabetik sihirli kareler  

Hristiyan ve islam geleneğinde yatay ve dikey yönde, ayrıca köşegenlerin her ikisine göre de simetrik yapıda sözcüklerin oluşturduğu alfabetik sihirli kareler olduğu bilinmektedir. Bunların kökeni M.Ö. 1. Asır ve M.S. 6. Asıra kadar dayanmaktadır. (Aldo Domenicano ve Hargittai (2000)).İtalya'daki küçük Capestrano kasabasının  güney doğusunda 40 km kadar uzaklıkta 8. Asırda inşa edilmiş ve yeniden onarıldıktan sonra şu andaki haliyle   12. Yüzyıldan kalma çok iyi korunmuş olan San Pietro ad Oratorium kilisesinin girişinde 5x5 biçiminde blok kireç taşı üzerinde oyulmuş beş sözcükten oluşan alfabetik sihirli kare vardır. AREPO dışında dördü Latince'den gelen  bu sözcükler:

ROTAS , OPERA, TENET , AREPO, SATOR

dır. TENET her iki yönden okunduğunda değişmeyen sözcüktür.

R

O

T

A

S

O

P

E

R

A

T

E

N

E

T

A

R

E

P

O

S

A

T

O

R

4. Yarı-sihirli kareler ve Moore-Penrose (MP) inversi 

Booth ve Booth (1955) de ifade edildiği gibi singüler olmayan bir sihirli karenin  elemanlarıyla oluşturulan bir matrisin tersi de bir sihirli karedir. s  "sihirli-sabit" olmak üzere  bir matrisin tersinin satır ve sütunlarının toplamları 1/s ye eşittir. Aşağıdaki 3x3 sihirli kareyi ele alalım. Singüler olmayan M matrisi için

M= =

Det(M)= -360 tır.

M-1=

Görülebileceği gibi M-1 matrisinin satır ve sütun toplamları 1/15 tir. Aynı özellik köşegen toplamları için de geçerlidir. Dürer'in sihirli karesine bakıldığında karşılık gelen kare matris singüler (tekil) ve rankı 3 tür. Bu nedenle Booth ve Booth (1955) deki sonuç uygulanamaz. O halde matrislerin Moore-Penrose (MP) inverslerinin de sihirli kare özelliklerini taşıyıp taşımadığını öğrenmek istiyoruz.

Bir A matrisinin A+ ile gösterilen  MP inversi aşağıdaki dört koşulu sağlarsa A+ tek olarak tanımlanır.

(i)                  AA+A=A

(ii)                A+AA+=A+

(iii)              (AA+)¢=(AA+)

(iv)                (A+A)¢=A+A

A bir kare matris olmasa bile bu invers daima vardır (Rao ve Mitra (1971)). Yalnız  (i) koşulu sağlanırsa  , yani AA-A=A ise,  A- ye A nın g-inversi denir. Her matris g-inverse sahiptir, fakat tek olmayabilir.

                Şimdi Dürer tarafından yapılan "Melancolia" resminde yer alan aşağıdaki meşhur sihirli kareyi düşünelim:

D=

 

Satır, sütun ve köşegen toplamları 34, dört köşedeki 2x2 alt kare matrislerin elemanlarının toplamı da 34 tür. D singüler bir matristir ve rankı 3 tür. D , 4x4 tipinde sihirli kare matrisin MP-inversi de sihirli kare olan bir matrise örnektir. Görüldüğü gibi D nin MP-inversi:

D+=

 

dir. MP-inversin  (i)-(iv) koşulları sağlanır (Trenkler (1994)). D matrisini 

                                              D=

biçiminde parçalara ayırdığımızda

D11= , det(D) =136 , ve rank(D11) =3 tür. D12= ', D21= ,  D22= 1 ve  olmak üzere

D+=

bulunur. Görülebileceği gibi satır, sütun ve köşegen toplamları , dört köşedeki alt kare matrislerdeki sayılar toplamı da 1/34 tür. O halde aşağıdaki teoremi verebiliriz.

TEOREM.  Bir A kare  matrisinin yarı-sihirli olabilmesi için gerek ve yeter koşul  Aj=A¢j=sj   dir. Burada j¢=(1,1,...,1) nx1 tipinde  vektördür.

Benjamin Franklin tarafından oluşturulan Şekil 1 deki 8x8 kare matrisi A olsun. A nın öz değerlerini inceleyelim: Öz değerlerin üçü

  

ve diğerleri sıfır olmaktadır. Trace(A)=228= dır. rank (A)=3 tür. Görüldüğü gibi Aj=A¢j=sj   dir.         

Kaynaklar 

 

Ball, W.W.R. and Coxeter, H.S.M.(1987). Mathematical Recreations and Essays. 13th Edition. Dover, NewYork, and University of Toronto Press.Booth, A. D. and Booth, K.H.V. (1955). 

On magic squares. The  Mathematical  Gazette, 39, 132-133.Domenicano, A. and  Hargittai, I. (2000).

Alphabetic magic square in a medieval church. The        Mathematical Intelligencer, 22 (1), 52-53.Henrich, C. J. (1991).

Magic squares and linear algebra. Amer. Math. Monthly  98, 481-488.Pasles, P.C. (2001).

The lost squares of Dr. Franklin: Ben Franklin's missing squares and the secret of the      magic circle. TheAmerican  Mathematical Monthly, 108, 489-511.Rao, C. R. And Mitra, S. K. (1971).

Generalized Inverse of Matrices and Its Applications, New York: John      Wiley.Trenkler, G. (1994).

Singular magic squres.   International Journal of Mathematical     Education in Science and Technology, 25, 595-597.