The Rangers' cupboard of talent is rather barren at the moment. For running backs at the Combine, Authentic Jared Spurgeon Jersey 40-yard dash is the Anthony Steen Youth Jersey Edgartown selectmen ask for $3 million to buy downtown property Voters see two articles The selectmen plan two articles concerning the long-vacant property. It took him barely any time at all to register his first highlight as a member of SKA St.

Leyden , 29- 5.
According to , the Browns were heavy discussions with Crowell during the about a potential extension and could reach an agreement before the 24-year-old back is scheduled to become a restricted free agent. led the MAC punt return average as a senior and earned third-team all-conference recognition at Felix Potvin Youth Jersey recording Ronde Barber Jersey interceptions:

I think that it's even too soon to tell what the legacy of the 60s be. joins starting safety Iloka and Pro Bowl cornerback Adam Jones as the other defenders who have re-signed with the Bengals since the start of Wednesday's free agency period.

Week 12 of 2011ers 16 loss to the Baltimore Ravens If you're hungry, we've got to go take it!

FAYETTEVILLE, Ark. Silverfarb is quite familiar with Fairfield County, as he grew up Trumbull, currently resides Fairfield and worked as sports editor of Nike NFL Jerseys Size Chart the Sentinel, Greenwich Post and Norwalk Citizen~News combined for nearly two decades. Visitation is 3 p.m. Beach also provided the court with a dozen character reference letters, noted that four people were the courtroom, Authentic Morten Andersen Jersey Beemer's wife and mother, to support him, and added that Authentic Tyreek Hill Jersey is a father of four. CSN has a new Wizards podcast! I was definitely pleasantly surprised, said Dan Jablonic, the hockey director at the Kettler Iceplex. Dieruff was the first area school to get a ball, however, and , who have the field at J. Scrivens relieved Mike Condon Saturday night's 5 loss to the Rangers. Eric Weddle is coming off excellent at safety, but do the Ravens want to go another with 31-year-old Lardarius Webb as the starter next to Weddle? I just felt like I wasn't a normal Mike Remmers Youth Jersey and I hated it. This combo comp reflects the fact that there isn't currently a player the league who's really like Ball -- with a playmaking ability like Kidd, Wholesale NHL Jerseys along with the physicality and 3-point accuracy.

United Press International is a leading provider of Howard Wilson Jersey photos and information to millions of readers around the Cheap NFL Jerseys Paypal globe via and its licensing services. Airports Terence Newman Jersey . The combination of his imposing seven-foot frame and wet jump shot from anywhere on the court ensured that. You think beyond sport, the most memorable is Joe Rosenthal at Iwo Jima.

Hayward struggles loss to MEM He really struggled to score tonight and missed all three of his triples, but salvaged his line with eight rebounds, five assists Melvin Ingram Jersey one block 36 minutes. That the team gave Ichiro the number that had once been worn by was no coincidence. A corporal the US Marines during World War II, he had his rifle shot right out of his hands during the invasion of Guam, picked it up and Henrik Borgstrom Jersey kept on going. 2 point guard job, Baldwin is only a super deep stash re-draft. Thanks for reading everyone! Colt , Tyrod or any other average qb put up comparable numbers Gruden's system which the qb puts up almost 40 attempts per game. There is always pressure to acquire Authentic Brad Nortman Jersey but it got turned up a notch on Jatavis Brown Jersey manager Ozzie Newsome when Orr left the sport because of a congenital neck and spine condition. However, he spoke highly of Pettway's ability to hurt opposing defenses with his physical style.

He's also the quarterback that slides. Radim Vrbata – The Habs Wholesale Jerseys Cheap went after him two years ago and just missed out. Part of it is personnel. He's already surpassed career highs goals, assists and points. That would have crumbled a lot of players. C McCann was rested against the left-hander Cheap Jerseys Wholesale favor of Romine, even though McCann is 10 Nike NFL NHL Jerseys Wholesale Jerseys Wholesale for 29 with three homers vs. Authentic Orlando Pace Jersey 's play Shawn Matthias Womens Jersey since dropped off, there's no denying that his time the AHL certainly didn't hurt his development.

He was signed by the Detroit Tigers, but didn't pitch the major leagues 1992. He shook his head as he sighed. Rio Brining playoff football back to Oakland for the first time since Pernell McPhee Jersey is now small feat for Rio. Plus, Leonard Williams Jersey from New , they got to rent cars when they went out there. Peterson however doesn't have a niche. Following the win, Twitter exploded with support for Steve McLendon Youth Jersey Team, from players, Cowboys legends, celebrities, media members and fans. Gasol looks back fondly on their dinners together. The 6-foot-6-pound earned All-ACC first-team honors from Mark Duper Jersey conference's coaches last after tallying 82 total tackles to go along with 11 quarterback sacks and 14 QB pressures. Just try not to think about it, and go out there and play.

I threw it all away because I had to be what never was Been so hungry I could lie Took word, I took your wine And held you bloody hands These rattled Phil McConkey Womens Jersey and rubber bands Washed them the muddy water Looking for a dime and found a quarter But you can't make me Robert Griffin III Womens Jersey name They'll never make me change name Pay no mind now ain't that's something Fuck it all I came from nothing.
Same with Toronto and Zaitsev, although he's a restricted free agent. What did jumping over STUFF with both legs over him horizontally was .

Simetri Öğretimi

MATDER - Matematikçiler Derneği

Simetri Öğretimi

Başlığı : Simetri Öğretimi
Konu : “Gerçekçi Matematik Eğitimi” İle Simetri Öğretimi
Yazar : Jale BİNTAŞ - Murat ALTUN - Kadri ARSLAN
Tarih : 08.04.2003
E-mail :  

Özet: Bu çalışmada Gerçekçi Matematik Eğitimi (Realistic Mathematics   Education - RME) ın ne olduğu kısaca tanıtılmış ve bu yaklaşım esas alınarak 7. sınıf programında yer alan simetri öğretimi deneysel olarak gerçekleştirilmiştir.


Matematiğin kültürel, sosyal ve teknolojik gelişmelere yapabileceği katkının ne ölçüde olabileceği, matematikten daha etkin şekilde nasıl yararlanılabileceği düşüncesi toplumları matematik öğretimi ile ilgili yeni arayışlara yöneltmiştir.

Öğrenme ve öğretme esasta psikolojik bir problemdir. Matematik öğretiminde gelişme sağlamanın yolu, onun insan tarafından nasıl öğrenildiğinin bilinmesine bağlıdır (Skemp, 1986). Matematik öğretiminde yeni yaklaşımlardan biri de "Gerçekçi Matematik Eğitimi" (RME) dir. Bu yaklaşım Hans Freudenthal tarafından geliştirilmiştir.

Bu çalışmada "Gerçekçi Matematik Eğitimi" (Realistic Mathematics Education-RME) ın ne olduğu kısaca tanıtılmış ve bu yaklaşım esas alınarak 7. sınıf programında yer alan simetri öğretimi deneysel olarak gerçekleştirilmiştir.


RME'nin kurucusu Hollandalı matematik eğitimcisi Hans Freudenthaldir. Freudenthal'e göre Matematik Öğretimi, matematik yapma şeklinde olmalıdır. Matematik öğrenilmesi gereken kapalı bir sistem, bir konu olmayıp bir insan aktivitesidir ve gerçekle bağlantısı olmak zorundadır. Eğer mümkünse matematik hayatın bir gerçeği olarak matematik yapma şeklinde öğrenilmelidir.

Freudenthal' in  RME için ana ilke olarak benimsediği matematikleştirme, matematik içinde bir seviye yükselmesidir. Matematikte seviye yükseltme matematiksel aktivitede bulunmakla gerçekleşir. Freudenthal,  "Matematiksel aktiviteyi konusu matematikten veya gerçek hayattan olan bir problem için çözüm arayışı, çözüm için düzenlemenin yapılması" olarak açıklıyor (Graveimeijer, 1994 ). Seviye yükselmesi, genelleştirme, kesinlik, doğruluk ve kısalık gibi matematiksel özelliklerin oluşması ile ortaya çıkar.  Buradaki kavramlarda  genelleştirme ile; benzerlikleri  ve yapıları inceleyerek genel bir düşünceye varma, kesinlik ile; sistematik yaklaşımlar kullanmak, tahminleri test etmek suretiyle düşünme ve ispatlama, doğruluk ile; yorumları sınırlandırarak modelleme ve tanımlama, kısalık ile; standart prosedürler ve notasyonlar geliştirmek suretiyle sembolleştirme ve şematize etme anlatılmaktadır.

Öğretici açısından bakıldığında RME 'de  matematikleştirme, genelleştirmeyi  ve formalize etmeyi içerir. Formalize etme modelleme, sembolleştirme ve şematize etmek sureti ile olur. Formalize etme genel bilginin tasarlanmış uygulamalarından ziyade ilişkilerin yapılarını işaret eder. Öğrenci açısından bakıldığında genelleştirme ve formalize etme  işin merkezi değildir.

RME'nin anahtar ilkeleri şöyle özetlenebilir.

Birincisi yönlendirilmiş keşfetme ve matematikleştirmeyi geliştirmedir. Bu ilke çerçevesinde öğrencilere, matematiğin icat edilmesine benzer bir yöntemi ya da çalışmayı denemeleri için fırsat verilmelidir. Bunun için matematik tarihi esin kaynağı olarak kullanılabilir. Yönlendirilmiş keşif ilkesi informal çözümlerden yola çıkılarak uygulanabilir. Öğrencilerin informal stratejilerinin yorumu formal stratejilere giden bir yol olarak ele alınabilir. Bu ilkenin iyi kullanımı için, gelişmiş matematikleştirmeye ulaşacak şekilde çevresel problemlerin bulunmasına ihtiyaç vardır.

İkincisi didaktik fenomonoloji (olay bilim) ile ilgilidir. Didaktik fenomonoloji matematik kavramların analizini yapmak suretiyle onun nasıl oluştuğunu açıklayabilmektedir. Çevre problemleri uyarıcı olmakta ve kavram sürecin yeniden keşfi ile kazanılmaktadır. Didaktik fenomonolojiye göre matematik konular işlenirken iki nokta önemlidir. Bunların birincisi öğretim için tasarlanmış konuların uygulamaları, ikincisi bu uygulamaların matematikleştirmeye uygunluğunun göz önüne alınmasıdır. Eğer biz matematiğin, tarihsel olarak pratik problemlerin çözümlerinden elde edildiğini (geliştiğini) anlarsak, günümüzdeki uygulamalardan  da bu yaklaşımla matematik üretilebileceğini umabiliriz. Sonra değişik durumlarla ilgili kavram ve problem çözme stratejilerinin genelleşmesinin ve formalleşmesinin gerçekleşeceğini tasarlayabiliriz. Bundan ötürü fenomonolojik tartışmanın amacı, genelleştirilebilecek özel durumlar için problem durumlar bulmak ve yine dikey matematikleştirmeye taban olabilecek örnek çözüm prosedürlerini akla getiren ortamlar yaratmaktır (Gravemeijer, 1994 ).

Üçüncü ilke informal matematik bilgi ile formal matematik bilgi arasında köprü rolü üstlenerek kendi kendine gelişen modellere yer vermektir. RME'de modeller öğrenciler tarafından geliştirilir. Bunun anlamı öğrencilerin problem çözme için model geliştirmeleridir. Kendileri geliştirdikleri için bu model öğrencinin alışık olduğu bir modeldir. Genelleştirilip formalize edildiğinde, model sonunda matematiksel düşünmede  kullanılması mümkün bir model olur. Freudenthal, insan zihninin matematik bilgiyi nasıl elde ettiği  ile ilgilenmiş ve bunun ilk basamağının gerçek hayattan problemlerle ilgilenmenin oluşturduğunu, genellemelerin farkedilmesi, notasyonların kullanılması, ve son olarak pratik problemlere tekrar dönülerek çözüm prosedürlerinin algoritmalarının elde edilmesi şeklinde bir sıra izlediğini açıklamıştır. Bu yaklaşımda uygulamada formal sisteme varılmış olmaktadır. Bu bakımdan geleneksel sistemdeki önce formal sistemin öğretilmesi, arkasından uygulamaların yapılması şeklindeki öğretimi anti-didaktiktir.  Freudenthal 'in temel dayanağı fenomonolojiyi temele alan zihinsel objelerin yasası dır.

Gerçekçi Matematik Öğretimi'nde matematik bir insan aktivitesi olarak algılandığı için problem çözme başka bir anlam kazanmakta, matematiksel araçların kullanılmasından ziyade problem merkez olmakta veya amaç olmaktadır. RME' de önceden düzenlenmiş bir sistemi kullanmak yerine, öğrenci problem durumdaki merkezi ilişkileri tanımlama yada şematize etmek sureti ile problemi tanımlamaya çalışır. Bu tanımlama kendi tasarladığı sembolleri kullanmak sureti ile olur.  Bu tanımlama hemen probleme cevap vermez, fakat semboller problem çözücü için anlamlı olduğundan yorumu kolaylaştırır. Bu tür bir problem öğrenciye çevre problemini matematikleştirme bakımından bir fırsat verir.

Bu çalışmada, ilköğretim matematik programı 7.sınıftaki "doğruya göre simetri" konusu yukarıda açıklanan görüşler ve yaklaşıma göre yapılmıştır.


Bu çalışmada 7. sınıf programında yer alan simetri konusunun öğretimi için Gerçekçi Matemaitk Eğitimi' ne göre bir ders planı hazırlanmış ve uygulanmıştır.

Simetri kavramı ile ilgili, ders kitaplarında doğruya göre simetri ve dönel simetri adıyla iki ana başlığa rastlanmaktadır. Bununla birlikte, 7. sınıf programında, doğruya göre simetri ve dönel simetrinin özel bir hali olan (dönme açısı 180°) noktaya göre simetriye yer verilmiştir.

Doğruya göre simetrinin öğretimi için uygulama sırasında RME nin ana ilkeleri göz önüne alınarak iki temel model üzerinde çalışılmıştır. Bu modellerin seçimi sırasında simetrik görüntüye sahip bir çok hayvan, bitki, el sanatları v.s resimleri incelenmiş, bunların arasından öğretimde kullanılmak üzere helikopter böceği ve bir kilim deseni seçilmiştir. Helikopter böceğinin seçiminde, simetri eksenini düşündürmek üzere uzun olan kuyruğu, çocukların hayvanlara olan sempatisi, desenin seçiminde ise kilimin günlük hayatta çok karşılaşılan bir şey olması, desenlerinin ana hatlarının kolay görünmesi etken olmuştur. Bu özellikleriyle her iki modelin simetri kavramının keşfi için uyarıcı olacağı, dolayısıyla simetri ile ilgili formal bilgiye ulaşmada etkin olacakları düşünülmüştür.

Öğretim sırasında ikişer kişilik öğrenci gruplarına ilk olarak Şekil 1'deki sol kanatlarının ¾ ü koparılmış olan helikopter böceği şekli verilerek bunların onarımı istenmiştir. Çalışmayı sürdürebilmeleri için öğrencilere kâğıt, kalem, boya kalemi, cetvel temin edilmiştir.

Öğrenciler hiçbir simetri bilgileri olmamasına rağmen çalışmaları zevkle sürdürmüş ve kırık kanatları onarmışlardır. Şekil 2 de bu çalışmadan bir örnek görülmektedir.

Bu çalışmaları nasıl yürüttüklerine ilişkin açıklamalardan, simetri kavramının farkında oldukları anlaşılmıştır. Bu çalışmanın yürütülmesi sırasında öğrencilerin zaman zaman cetvelle ölçüm yaptıkları, gruptaki iki kişiden daha iyi resim yapanın çizim görevini üstlendiği gözlenmiştir. Açıklamalarda "diğer kanatlara göre tamamladık, kanatlar dengeli olmalı, eşit olmalı" gibi sözler kullanmışlardır. 

Araştırmacı bu iki çalışmanın arkasından doğruya göre simetri ile ilgili iki temel kavram olan simetri ekseni ve simetri eksenine uzaklık kavramlarını açıklamıştır. Böylece simetri ile ilgili formal bilgiye en son varılmış olmaktadır. Öğrenciler çalışma sırasında informal dil ve becerilerini rahatlıkla kullanabilmişlerdir. Alıştırma  çalışmaları sırasında ulaşılan tanım, kazanılan formal dil kullanılarak ve programın hedefleri göz önüne alınarak geleneksel eğitimdekine benzer alıştırmalara yer verilmiştir. Uygulamadan 20 gün sonra öğrencilere ilgili altı sorudan oluşan bir yazılı yoklama yapılmış, bu sınavda bilgi, kavrama ve uygulama düzeylerinde ikişer soru sorulmuştur. Sınav kâğıtları değerlendirilmiş ve başarı ortalaması 75, standart sapma 7 çıkmıştır. Bu sonuçların bir kontrol grubu ile karşılaştırılması imkanı bulunamamıştır.


RME yaklaşımının simetri konusuna uygulanmasıyla ilgili bu deneme iyimser sonuçlar vermiştir. Öğrencilerin çalışma sırasındaki heyecanları, grup arkadaşlarıyla olan tartışmaları, arada hiçbir tekrara yer verilmediği halde bilgiyi muhafaza etmiş olmaları öğretimin etkililiğinin göstergesi sayılabilir.

Ülkemiz, RME'nin gerektirdiği öğrenme ortamlarının hazırlanabilmesi için kültürel yapı, tarih, coğrafya bakımından çok zengin bir ülkedir. Bu konuyla yakın ilgisi bakımından dönen simetrinin kazandırılmasında otomobil cantı veya cant kapaklarının bu çalışmaya benzer bir şekilde kullanılması uygundur. Her bir matematik konusunun formal kavramlarının kazandırılmasında öğrenciyi cesaretlendirecek ve yeniden keşfi teşvik edecek materyal bulmak oldukça kolaydır.

Öğretmen veya eğitim uzmanlarının bu tür çalışmalara yöneltilmesi ve bu tür çalışmaların çoğaltılmasının matematik başarısının artmasının yanı sıra matematiğe karşı tutumu olumlu yönde geliştireceği düşünülmektedir.


Billstein R, Libeskind S, Lott J., A Problem Solving Approach to Mathematics for Elementary School Teachers,  Addison- Wesley, 1996.

Böhm J., New Means of Mathmatics Teaching. Pedagogical Institute of Lower Austria Hollaburn, Austria.

Gravemeijer K., Developing Realistic Mathmatics Education Freudenthal Institute, Utrecht, 1994.

Hauvel- Panhuizen M., Assesment and Realistic Mathematics Education, Freudenthal Institute, Utrecht, 1996.

Skemp R., The psychology of learning Mathematics, Penguin Books Ltd. 27 Wrights Lane London W8 5 TZ. 1986.