The Rangers' cupboard of talent is rather barren at the moment. For running backs at the Combine, Authentic Jared Spurgeon Jersey 40-yard dash is the Anthony Steen Youth Jersey Edgartown selectmen ask for $3 million to buy downtown property Voters see two articles The selectmen plan two articles concerning the long-vacant property. It took him barely any time at all to register his first highlight as a member of SKA St.

Leyden , 29- 5.
According to , the Browns were heavy discussions with Crowell during the about a potential extension and could reach an agreement before the 24-year-old back is scheduled to become a restricted free agent. led the MAC punt return average as a senior and earned third-team all-conference recognition at Felix Potvin Youth Jersey recording Ronde Barber Jersey interceptions:


I think that it's even too soon to tell what the legacy of the 60s be. joins starting safety Iloka and Pro Bowl cornerback Adam Jones as the other defenders who have re-signed with the Bengals since the start of Wednesday's free agency period.

Week 12 of 2011ers 16 loss to the Baltimore Ravens If you're hungry, we've got to go take it!

FAYETTEVILLE, Ark. Silverfarb is quite familiar with Fairfield County, as he grew up Trumbull, currently resides Fairfield and worked as sports editor of Nike NFL Jerseys Size Chart the Sentinel, Greenwich Post and Norwalk Citizen~News combined for nearly two decades. Visitation is 3 p.m. Beach also provided the court with a dozen character reference letters, noted that four people were the courtroom, Authentic Morten Andersen Jersey Beemer's wife and mother, to support him, and added that Authentic Tyreek Hill Jersey is a father of four. CSN has a new Wizards podcast! I was definitely pleasantly surprised, said Dan Jablonic, the hockey director at the Kettler Iceplex. Dieruff was the first area school to get a ball, however, and , who have the field at J. Scrivens relieved Mike Condon Saturday night's 5 loss to the Rangers. Eric Weddle is coming off excellent at safety, but do the Ravens want to go another with 31-year-old Lardarius Webb as the starter next to Weddle? I just felt like I wasn't a normal Mike Remmers Youth Jersey and I hated it. This combo comp reflects the fact that there isn't currently a player the league who's really like Ball -- with a playmaking ability like Kidd, Wholesale NHL Jerseys along with the physicality and 3-point accuracy.

United Press International is a leading provider of Howard Wilson Jersey photos and information to millions of readers around the Cheap NFL Jerseys Paypal globe via and its licensing services. Airports Terence Newman Jersey . The combination of his imposing seven-foot frame and wet jump shot from anywhere on the court ensured that. You think beyond sport, the most memorable is Joe Rosenthal at Iwo Jima.

Hayward struggles loss to MEM He really struggled to score tonight and missed all three of his triples, but salvaged his line with eight rebounds, five assists Melvin Ingram Jersey one block 36 minutes. That the team gave Ichiro the number that had once been worn by was no coincidence. A corporal the US Marines during World War II, he had his rifle shot right out of his hands during the invasion of Guam, picked it up and Henrik Borgstrom Jersey kept on going. 2 point guard job, Baldwin is only a super deep stash re-draft. Thanks for reading everyone! Colt , Tyrod or any other average qb put up comparable numbers Gruden's system which the qb puts up almost 40 attempts per game. There is always pressure to acquire Authentic Brad Nortman Jersey but it got turned up a notch on Jatavis Brown Jersey manager Ozzie Newsome when Orr left the sport because of a congenital neck and spine condition. However, he spoke highly of Pettway's ability to hurt opposing defenses with his physical style.

He's also the quarterback that slides. Radim Vrbata – The Habs Wholesale Jerseys Cheap went after him two years ago and just missed out. Part of it is personnel. He's already surpassed career highs goals, assists and points. That would have crumbled a lot of players. C McCann was rested against the left-hander Cheap Jerseys Wholesale favor of Romine, even though McCann is 10 Nike NFL NHL Jerseys Wholesale Jerseys Wholesale for 29 with three homers vs. Authentic Orlando Pace Jersey 's play Shawn Matthias Womens Jersey since dropped off, there's no denying that his time the AHL certainly didn't hurt his development.

He was signed by the Detroit Tigers, but didn't pitch the major leagues 1992. He shook his head as he sighed. Rio Brining playoff football back to Oakland for the first time since Pernell McPhee Jersey is now small feat for Rio. Plus, Leonard Williams Jersey from New , they got to rent cars when they went out there. Peterson however doesn't have a niche. Following the win, Twitter exploded with support for Steve McLendon Youth Jersey Team, from players, Cowboys legends, celebrities, media members and fans. Gasol looks back fondly on their dinners together. The 6-foot-6-pound earned All-ACC first-team honors from Mark Duper Jersey conference's coaches last after tallying 82 total tackles to go along with 11 quarterback sacks and 14 QB pressures. Just try not to think about it, and go out there and play.

I threw it all away because I had to be what never was Been so hungry I could lie Took word, I took your wine And held you bloody hands These rattled Phil McConkey Womens Jersey and rubber bands Washed them the muddy water Looking for a dime and found a quarter But you can't make me Robert Griffin III Womens Jersey name They'll never make me change name Pay no mind now ain't that's something Fuck it all I came from nothing.
Same with Toronto and Zaitsev, although he's a restricted free agent. What did jumping over STUFF with both legs over him horizontally was .

FRAKTAL VE FRAKTAL GEOMETRI NEDIR?
duman6

MATDER - Matematikçiler Derneği



FRAKTAL VE FRAKTAL GEOMETRI NEDIR?

Başlığı : FRAKTAL VE FRAKTAL GEOMETRİ NEDİR?
Konu : FRAKTAL VE FRAKTAL GEOMETRİ NEDİR?
Yazar : Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU
Tarih : 07.11.2004
E-mail :  

1.  GİRİŞ

İlk matematiksel fraktal kavramı 1861 de keşfedildi. Karl Weierstrass sürekli fakat hiçbir noktada diferensiyellenebilir olmayan , yani köşe noktalarından oluşan bir eğri üzerindeki değişmeleri araştırken, hiçbir noktada değişme oranının bulunamayacağı kanaati ile sarsılmıştır. Fraktal kelimesini Weierstrass bu cins eğriler için ilk defa kullanmıştır.

Matematik anlamda ilk çalışılan fraktal, Cantor Cümlesidir. Cantor (1845-1918) Halle Üniversitesi'ndeyken matematiğin temel konularından olan ve günümüzde Cümle Teorisi olarak adlandırılan alanı kuran bir Alman matematikçidir.

Cantor cümlesi ile ilgili ilk çalışma 1883 de basılmış  [G. Cantor, Über Unendliche, lineare punktmannigfaltigkeiten V, Mathematische Annalen 21 (1883) 545-591] ve bazı özel cümleler için örnek olarak gösterilmiştir. Cantor cümlesi hiçbir yerde yoğun olmayan, mükemmel (perfect) alt cümlelere bir örnektir. Fraktalların tarihi gelişiminde Cantor, Sierpinski, Von Koch, Peano gibi matematikçiler tarafından oluşturulan fraktallar matematiksel canavarlar olarak adlandırılır. Matematiksel canavarların bahçesinde veya ilk fraktalların ortaya çıktığı zamanlarda Cantor cümlesi görünüş açısından diğerlerinden daha az gösterişli olmasına ve diğerlerine göre doğal yoruma daha uzak olmasına rağmen oldukça önemlidir. Cantor cümlesinin, matematiğin pek çok alanında özelikle Kaotik Dinamik Sistemlerde önemli rol oynadığı ve pek çok fraktallar (Julia cümleleri gibi) için de gerekli bir model olduğu görülmektedir.

Etrafımızda, parlak, tuhaf, güzel şekilli cisimler görürüz. Bunlara Fraktal denir. Gerçekten bunlar nedir?

İnternette fraktallar hakkında çok fazla bilgi vardır, fakat bu bilgilerin büyük kısmı ya güzel resimler veya yüksek seviyeli matematiksel kavramlarla ilgilidir. Dolayısıyla kolayca anlaşılır bir ifade ile diyebiliriz ki fraktallar tuhaf  resimleri olan cisimler, matematiksel nesnelerdir. Okulda karşılaştığımız matematiğin çoğu eski bilgilerdir. Örneğin, geometride karşılaştığımız çemberler, dörtgenler ve üçgenler M.Ö. 300 üncü yıllarında Öklid tarafından ortaya konulmuştur. Buna rağmen Fraktal Geometri daha çok yenidir. Fraktallar üzerinde matematikçiler tarafından araştırmalar son 25 yıldır başlamış bulunmaktadır.

VON KOCH EĞRİSİ

 Burada bir doğru parçası ile başlıyoruz. Doğru parçasını üç eşit parçaya ayırıyoruz ve ortadakini alıyoruz. Onu bir eşkenar üçgen şeklinde dışa doğru tamamlıyoruz. Böylece dört eş doğru parçasından oluşan bir kırık çizgi elde etmiş oluyoruz. Buna motif veya oluşturucu denir. Eğer öncü doğru parçası 1 uzunluğunda seçilirse, motif her biri  uzunluklu dört parçadan oluşur. Dolayısıyla motif'in toplam uzunluğu  olur.

Benzer biçimde dört parçadan her birini öncü kabul ederek aynı işlemle birer motif haline getiririz. Böylece 2. adımdaki şekli elde ederiz. Bu son halde  eş doğru parçası yer alır.

Bu eğrinin total uzunluğu olur. Benzer şekilde bir adım daha devam edilirse 3. adımda  doğru parçası elde edilir. Her birinin uzunluğu   olan eş doğru parçasından oluşan bir eğridir. Bu eğrinin toplam uzunluğu olur.

Bu fraktalın boyutu : Boyutu D ile gösterirsek    ile hesaplanır. Burada N fraktalın

oluşumundaki  parça sayısını ve a da her parçanın uzunluğunu göstermektedir. 2. Şekle göre  dür. 1.Şekle göre   olduğundan   olur. 3.Şekle göre   ve  olduğundan   olur. 4. Şekle göre  ve  olduğundan  olur. O halde

        (aynı)

veya

dır. Limit halde, öncü doğru parçasının bütün orta parçaları hızlı bir şekilde uzaklaşacak ve geriye tam bir Cantor Cümlesi kalacak. O halde Koch Eğrisi de kendine benzerdir. Her bir küçük parça bütünün bir minyatür kopyası olacaktır. Bu nedenle Koch Eğrisi de bir Cantor Cümlesi olacaktır.

KOCH KARTANESİ                       

Üçgenlere ayrılarak bir kafes biçiminde çizilmiş bir sayfa kağıt alalım.

I.  Adım: Geniş bir eşkenar üçgen çizelim.

II. Adım: Altı adet sivri köşesi olan bir yıldız elde etmek için:

Üçgenin bir kenarını üç eşit parçaya ayıralım ve ortadaki parçayı alalım.

2. Boşta kalan iki uca aldığımız bu parçadan birer tane bağlayalım ve uçlarını üçgenin dış tarafında birleştirelim.

3. Bu işi eşkenar üçgenin diğer iki kenarı üzerinde de yapalım. Böylece eşkenar üçgenden altı köşeli bir yıldız elde etmiş oluruz.

Ortaya çıkan bu yıldızın sahip olduğu altı eşkenar üçgenin her birinde II. Adım tekrarlanarak ikinci tekrardaki şekli elde ederiz.

Bu işe devam edersek çevre uzunluğu sonsuz olan bir grafik  elde ederiz . Şu halde KOCH  Kartanesinin  ilginç karakteristiği onun çevresidir. Normalde, bir geometrik şeklin çevresini büyütürseniz alanını da  büyütmüş olursunuz. Eğer çevresi çok uzun olan bir kare alırsanız alanı da çok büyük olan bir kare almış olursunuz. Şimdi burada ne olduğuna bakalım:

Yaptığımız iş şu idi:

Bir eşkenar üçgenin bir kenarını üç eşit parçaya böldük ve ortadakini çıkardık.

Çıkardığımız parça ile eşit uzunluklu iki parçayı bir   V  harfi gibi birleştirerek üçgenin kenarında boş kalan iki ucu bağladık.

Bu işi üçgenin her kenarı için de yaptık. Ve böylece devam ettik.

Bu fraktalın boyutu:  2.Şekle göre   ve  olduğundan  boyut formülünün kullanırsak  dır.

TERS KARTANESİ 

 Bu yeni fraktal Koch Kartanesinin ilginç bir değişimi olacak.

Büyük bir eşkenar üçgenle başlayalım. Eğer üçgenlerle kafeslenmiş bir kağıt kullanırsanız üçgeninizin kenarlarını 9 kafes uzunluğunda (veya 3 ün başka katları olabilir) seçin.

I. Adım: Üçgenin bir kenarını üç parçaya bölelim ve ortadaki parçayı alalım.

Bu parçalardan bir tane daha bularak V şeklinde ekleyip çıkardığımız yeni üçgenin içine doğru dolduralım.

Üçgenin geri kalan iki kenarına da aynı işlemi uygulayalım.

Böylece bir fırıldak şekli elde etmiş oluruz.

II. Adım: Bu metodu fırıldakta yer alan yeni üçgenlerle tekrarlayalım. Böylece yukarıda şekiller dizisini elde ederiz.

   Bu fraktalın Boyutu:  Koch Kartanesinin ki ile aynıdır.

SİERPİNSKİ ÜÇGENİ

Polonyalı matematikçi VACLAV SİERPİNSKİ (1882-1969) 1916 yılında, daha sonra kendi adıyla anılan ve Sierpinski Üçgeni veya Sierpinski Şapkası (Sierpinski Gasket) veya Sierpinski Kalburu (Sierpinski Sieve)  da denen bir fraktal tanıttı. Bu şeklin 12.yüzyılda bir kilisede süsleme olarak çizili olduğu da biliniyor.

Örneğin, üçgen gibi alışılmış bir geometrik şekil alalım ve üzerinde daha karışık bir yeni şekil elde edecek biçimde belirli bir işlem yapalım. Bu işlemi, aynen uygulamaya devam ettikçe daha karışık bir şekil elde ederiz. Bu işlemi tekrar tekrar uygulamaya devam edelim. O zaman, yukarıda şekli görünen ve Sierpinski Üçgeni denen meşhur fraktal elde edilir.

I. Adım :  Kenar uzunluğu 2 birim olan bir eşkenar üçgen çizelim. Her kenarının orta noktalarını işaretleyelim ve bu orta noktaları birleştirelim. Böylece dört tane yeni eşkenar üçgen elde etmiş oluruz. Merkezde kalan üçgeni karalayalım ve sonra da merkezdekini kesip atalım.

II. Adım:  Kenar uzunluğu 4 birim olan bir eşkenar üçgen çizelim. Kenarlarının orta noktalarını birleştirelim. Elde edilen dört yeni eşkenar üçgenden merkezdekini  birinci adımda olduğu gibi karalayalım. Sonra da köşelerde yer alan ve karalanmamış olan üç adet üçgenin her birini aynı işleme tabi tutalım.

III. Adım : Kenar uzunluğu 8 birim olan bir eşkenar üçgen çizelim. Yukarıdaki işlemleri aynen tekrar ederek Sierpinski Üçgenini tamamlayalım. Benzer şekilde boyama işini de yapalım. Boyanmış olanları kesip çıkaralım. Böylece 1 adet büyük, 3 adet ortanca ve 9 adet küçük ve boyanmış eşkenar Üçgene sahip olacağız.

IV. Adım:  Bir duvar kağıdından bu işi yapalım. Yukarıdaki adımları sırasıyla takip ederek Sierpinski Üçgenini tamamlayalım.

Sierpinski Üçgeni pür matematik alanında bir zihinsel üründür. Benzer şekilleri deniz kabuğunda ve hücre çoğalmalarında da görebiliriz.

Bu fraktalın Boyutu:  ve  olduğundan  boyut formülüne göre  dır.

PASCAL ÜÇGENİ VE SİERPİNSKİ ÜÇGENİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

       Blaise Pascal'ın sayılara ait üçgen modelini hatırlayınız. Bu üçgeni yukarıdaki şekilde görüyorsunuz. Bu üçgene Pascal Üçgeni denir.

Pascal üçgenindeki küçük üçgenlerden içinde çift sayı bulunanları boyayalım. Ortaya çıkan Pascal Üçgenini yukarıdaki üçgenle karşılaştıralım. Böylece Pascal Üçgeninden Sierpinski Üçgenini elde etmiş oluruz.

SİERPİNSKİ HALISI

I. Adım:  Kenar uzunluğu 9 birim olan bir kare alalım. Kenarlarının her birini üçer eşit parçaya ayıralım. Karşılıklı olarak bu ayırım noktalarını birleştirelim.

II. Adım:   Oluşan dokuz eş kareden merkezdekini kesip çıkaralım.

III. Adım:  Geri kalan sekiz eş karenin her biri için aynı işi tekrarlayalım.

IV. Adım:  Elde edilen şekle aynı metodu tekrar  uygulayalım.

Sonuçta elde edilen  şekil çoğu zaman Cantor cümlesinin bir genellemesi olarak görülür.

Bu fraktalın boyutu: I. Adıma göre   ve  olduğundan  dır.

CANTOR ORTA ÜÇLÜLERİNİN CÜMLESİ

Cantor Orta Üçlülerinin Cümlesi, birim doğru parçasının üç eşit parçaya bölünmesi ve ortadaki üçte bir parçasının atılması, daha sonra geriye kalan iki parçanın da aynı işleme tabi tutulup ortalarındaki üçte birlik parçalarının atılması ve tekrar geriye kalan dört parçanın her biri için aynı işlemden sonra ortadaki parçalarının atılması ve bu işleme devam edilmesiyle oluşturulur.

Cantor cümlesinin kutu-sayma boyutunu hesaplamak için, git gide küçülen kutularla Cantor cümlesini örteriz.

Bu fraktalın boyutu:             ( Çünkü ilk şekle göre   ve  dır.)

Diğer bir  kutu sayma hesabına göre :          

ve genel olarak

bulunur.

Bu fraktalın kutu-sayma boyutunu hesaplamak oldukça kolaydır.

Buradan       bulunur.

PİSAGOR AĞACI

Bitki fraktallarının oluşumuna ait  bir yol  Pisagor Ağacı  yoludur, bu yola fraktal gölgelik de denir. Bu yol, doğruların ayrılmasından ibarettir, dallanmaya çok benzerdir. Doğrular yerine kareler ve üçgenler kullanılarak aşağıdaki şekle benzer bir oluşum ortaya çıkar.

         Bu cins bitki fraktallarının en önemli özeliği uç noktalarının irtibatlı oluşudur. Dalların uç noktaları bir yüzey üzerinde birleşirler, tıpkı kara lahanada olduğu gibi.

 Bir diğer yol da tekrarlayan fonksiyon fraktallarında olduğu gibi, bir eğrelti otunu oluşturan yoldur.

KESİRSEL BOYUTUN DOĞUŞU

Bir noktanın boyut'u yoktur, uzunluğu, genişliği hatta yüksekliği de yoktur. Aşağıdaki  şekli ne kadar büyük çizilirse çizilsin bir nokta olduğu bilinirse noktanın ne olduğu malum olduğuna göre bu şekil bir nokta gösterir ve boyutu  dır.

Bir doğrunun boyutu 1 dir, bu boyut onun uzunluğuna karşılık gelir. Doğrunun da genişliği ve yüksekliği yoktur. Fakat uzunluğu sonsuzdur.

Genişliği  olan fakat boyu sonsuz olan bir doğru nasıl çizilir? Bu öğrenme işinin sonucu olarak bilinen bir şeydir.

Bir düzlem iki boyutludur, bunlar uzunluk ve genişliktir, fakat derinlik (ya da yükseklik) yoktur.

Düzlemi, masanın üst yüzü olarak düşünürseniz uzunluğunu ve genişliğini sınırlamayız.

Uzay, öyle büyük fakat boş bir kutudur ki bu kutunun boyu, eni ve derinliği (yüksekliği) her yönde istenildiği kadar genişletilebilir. Dolayısıyla uzay 3 boyutludur. Elbette uzayı aşağıdaki kutu yerine bir altıgen prizma ile de temsil edebilirdik.

Fraktallar, kesirsel boyutlara sahip olabilirler. Örneğin  fraktal 1.6 veya 2.4 boyutlu olabilir. Bunun neden ve nasıl böyle olabileceğini görelim.

Sierpinski Üçgenini ele alalım. Bunun ilk fraktal örneği olduğunu biliyoruz. Bu, gerçekten 1 in yaklaşımlarından sadece bir tanesidir.

Şimdiye kadar verdiğimiz örneklerde de gördüğümüz gibi fraktallar sonsuz adımlardan oluşan bir algoritmanın sonucu olarak ortaya çıkarlar. Aşağıdaki şekilde bu adımlardan sadece üç tanesini görüyorsunuz. Dolayısıyla Sierpinski Üçgeni denen fraktal içinde giderek küçülen sonsuz çoklukta küçük üçgenler vardır.

Fraktalların kesirli boyutlara nasıl sahip olduklarını görebilmek için önce genel olarak boyut demekle neyi kastettiğimizi görelim.

Bir doğru parçası ve onun uzunluğunun  iki katındaki diğer bir doğru parçasından oluşan bir kendine benzer şekli ele alalım. Uzunluğu iki misli almakla esas doğru parçasının iki kopyasını almış olduk.

 

Diğer bir kendine benzer şekil olarak  tipinde bir kare ile onun uzunluğunun ve genişliğinin 2 şer katlarından oluşan diğer bir kareyi ele alalım. Böylece esas karenin dört kopyasını elde etmiş olduk. Demek oluyor ki kenarları katlama işi bize dört kopya verdi.     

Şimdi de  tipinde bir küp alalım. Uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini katlayalım. Böylece esas küpün sekiz kopyasını elde etmiş oluruz. Demek ki bu defa katlama işi bize sekiz kopya vermiş oldu.

Bu bilgileri bir tabloda toplayalım. Burada   bir model görüyoruz. O da şudur, boyut üs'dür. Demek ki kopya sayısını biliyor isek onu 2 nin üstel kuvveti olarak ifade ederiz ve bu üs bize boyut olarak gelmiş olur.

Şekil

Boyut

Kopya Sayısı

Doğru Parçası

1

 

Kare

2

 

Küp

3

 

Yukarıdaki tabloya bir satır daha ekleyelim.

Şekil

Boyut

Kopya Sayısı

Doğru Parçası

1

 

Kare

2

 

Küp

3

 

Herhangi bir kendine benzer şekil

   

Şimdi artık, Sierpinski Üçgeni denen fraktal'ın boyutunu verebiliriz. Kenar uzunlukları 1 er cm olan bir Sierpinski Üçgeni ile başlayalım. Kenarların uzunluklarını katlayalım. Atılan üçgenler Sierpinski Üçgeninin bir parçası olmadıklarından (onlar birer deliktirler) bu katlama işi bize üç kopya verecektir.       O halde yazabiliriz, burada  boyuttur. O halde buradan olur.  ve  olduğuna göre  deki  değeri 1 ile 2 arasındaki bir değerdir. Bunu da tablomuza ekleyelim.                                                                                                                                                     

Şekil

Boyut

Kopya Sayısı

Doğru Parçası

1

 

Sierpinski Üçgeni

   

Sierpinski Halısı

   

Kare

2

 

Küp

3

 

Herhangi bir kendine benzer şekil

   

O halde Sierpinski Üçgeninin boyutu 1 ile 2 arasındaki bir sayıdır. Hesap makinanız yardımı ile  eşitliğinde  ye 1.1 verirseniz, 3 yerine 2.143547 ve 3 e daha yakın bir değer için  ye 1.2 verirseniz, 3 yerine 2.2974 elde edersiniz. Bu ikincisi 3 e daha yakındır. Bu şekilde devam ederseniz  ye daha uygun bir değer bulursunuz. 3 e yakın değeri veren  sayısı Sierpinski Üçgeni denen fraktal'ın boyutudur, bu da  dir. Bu da bize fraktalların boyutlarının nasıl birer kesirli sayılar, kesirli boyut olabileceklerini göstermektedir.

KOMPLEKS TEKRARLAMA(Dinamik sistem)

   Kompleks sayıları kullanarak Mandelbrot Cümlesini ve Julia Cümlelerini oluşturmak mümkündür. Bunun için  ve  kompleks sayılar olmak üzere

 dönüşümü esas alınır.  kompleks sayısından başka bir  kompleks sayısı daha alalım ve  kompleks sayılarının dizisini

olarak yazalım. Bu yolla Mandelbrot Cümlesi ve Julia Cümleleri oluşturulabilir. Julia tipindeki cümleler ile Mandelbrot Cümlesi birbirinden ayırt edilebilir. Bu metodu kısaca açıklayalım.

İlk olarak kompleks sayılar kullanmadan formülasyon hazırlanır.  kompleks sayısı  ve  reel sayılarının bir ikilisi olarak düşünülür  ve  kompleks sayısı da reel sayıların belli bir  iklisi olarak alınır. O zaman  dönüşümü,

 olduğundan     dinamik sistemini verir.

JULİA TİPİNDEN CÜMLELERİN AYRILMASI

   Her bir   sabit kompleks sayısı için  ile gösterilen bir Julia cümlesi vardır. Eğer  ile gösterilen doldurulmuş Julia cümlesini tanımlarsak bunu tanımak kolaydır. Düzlemin her bir  noktası için

genel ifadesi yardımı ile

dizisi elde edilir. Eğer dizi sonsuza gitmiyorsa  dir, eğer dizi sonsuza gidiyorsa  dir. Örneklere geçmeden önce  nin tanımının üç bilgisayar görünümünü verelim.

1. Matematikte her ne kadar düzlemin bütün  noktalarını ele alabiliyorsak da pratikte kompleks düzlemin sadece bir parçasını düşünürüz ve bu düzlem parçasının içinde  ların sonlu bir kolleksiyonunu alırız. Resimlerin büyüklüğü nedeniyle her bir küçük bölgenin merkezini  olarak alırız. Örneğin  ebadındaki bir düzlem parçası için  adet kutucuk gerekir.

2. Bir dizi sonsuza nasıl gider? Örneğin dizideki bir elemanının merkezden uzaklığı 2 den büyük oluyorsa dizinin diğer elemanlarının orijinden uzaklıkları sonsuz olarak alınır. Bu demektir ki dizi sonsuza gidiyor. O zaman merkezden uzaklıkları 2 ve 2 den küçük kalacak şekildeki diziler sonsuza gitmiyor.

3. Kabul edelim ki  lerin hepsinin orijinden uzaklığı 2 olsun. Bu durumda dizinin sonsuza gitmeyeceğini söyleyemeyiz, çünkü belki   ün orijine uzaklığı 2 den büyük olabilir. Bu durumda  bir seçim yapmalıyız. Tekrarlamanın bir  maksimum sayısını seçeriz. Eğer  lerin hepsi orijinden 2 uzaklığında iseler o zaman dizinin sonsuza gitmediğini söyleyebiliriz ve dolayısıyla  dir deriz. Böylece bazı noktaların   ye ait olduklarını kabul etmiş oluruz. Bu kabulde en az  hata yapmış olduğumuz en büyük   sayısı önemlidir. Diğer yandan bu en büyük  sayısı da bilgisayarın daha çok zamana ihtiyacını gerektirir.

 

Bu algoritma hangi küçük kutucukların  ye ait merkezlere sahip olduğunu belirtir. Bu kutucukları siyah ile boyarız. Eğer bir başka  ile başlayan dizi sonsuza gidiyorsa  'ı  merkez kabul eden kutucuğu başka bir renk ile boyarız. Böylece orijinden uzaklığı 2 den büyük olan kaç deneme yaptığımızı da göstermiş oluruz.

Örneğin, ilk deneme-de eğer bir miktar tekrarla-mayı kırmızı ile boyadı isek, sonra ikinci deneme-dekileri de portakal  rengin-de boyayalım,..., böylece devam edelim. Bu durumda aşağıdaki renkli görüntü ortaya çıkar. Bunu elde edebilmek için bilgisayar yukarıdaki dinamik sistemi milyonlarca defa uygulamıştır.