duman6

MATDER - Matematikçiler Derneği


  • Increase font size
  • Default font size
  • Decrease font size

GEÇMISTEN GÜNÜMÜZE GEOMETRI GEOMETRI ÖGRETIMI VE ÖKLID DISI GEOMETRILERIN ÖGRETIMDEKI YERI VE ÖNEMI

Basligi : GEÇMISTEN GÜNÜMÜZE GEOMETRI GEOMETRI ÖGRETIMI VE ÖKLID DISI GEOMETRILERIN ÖGRETIMDEKI YERI VE ÖNEMI
Konu : GEÇMISTEN GÜNÜMÜZE GEOMETRI GEOMETRI ÖGRETIMI VE ÖKLID DISI GEOMETRILERIN ÖGRETIMDEKI YERI VE ÖNEMI
Yazar : Prof. Dr. Rüstem KAYA
Tarih : 06.11.2004
E-mail :  

GEOMETRININ KISA TARIHÇESI

Bilim adamlari ve ögretmenler meslek olarak seçtikleri alanin geçmisine yönelik genel kültüre sahipseler  kendilerini daha yetkin hissederler, daha öz güvenli olurlar; arastirma ve ögretimde daha faydali olacaklari gibi gelecekte yapilabilecekleri de daha kolay sezmege ve görmeye baslarlar. Bu nedenle konusmamin ilk kismini bu konuya ayirdim.  Bilindigi gibi bilim tarihi içinde matematiksel gelismelerin yeri ve önemi çok büyüktür. Matematigin orijininde de iki temel alan vardir: ARITMETIK ve GEOMETRI. Burada tarih boyunca geometrideki bulus ve gelismeleri kronolojik bilgilerden bir derleme biçiminde verecegiz.

Insanoglunun dünyada olusumu M.Ö. 2 000 000 lu yillar olarak hesaplanmakta ve kabullenilmektedir. Ilk insanlarin uzun asirlar, hatta uzun milleniumlar boyunca çok ilkel bir yasam sürdürdükleri bilinmektedir. Ancak M.Ö 50 000 li yillarda sayma belirtilerine rastlanmis izleyen milleniumlar içinde (M.Ö. 25 000 li yillar) taslara islenmis primitif geometrik sekiller tespit edilmistir. (Bu dönemin tarihte Kaba Tas Çagi oldugunu hatirlayalim!). Daha sonra tarim sayesinde yerlesik yasam yayginlasiyor, Maden Çaginda (M.Ö. 4000 li yillar) ilerleme ve medenilesme sürüyor. Gerçek gelisme yazinin ve rakamlarin icadi (Mezapotamya da M.Ö. 3000 ler) ile oluyor. Mezapotamya da SÜMERLER, onlari izleyen BABIL ve AKADLAR (M.Ö. 3500-2000 periyodunda) geometri adina sunlari biliyorlardi:

Üçgen ve çokgenlerin ALANLARININ hesaplanmasi

Pisagor Teoremi (M.Ö. 1600-1900 arasinda yazilan Plimpton tabletinde Pisagor üçlülerini kapsayan tablolar var. Ispata rastlanmasa bile Pisagordan en az bin yil önce bu teoremi biliyorlardi.)

Bir çok basit geometrik cismin hacmini veren formüller

Kesik kare piramidin hacmini veren formül

"Çapi gören çevre açi diktir" teoremi (Bu ifade de Thales Teoremi diye bilinir. Oysa Thales'den yaklasik 1000 yil önce biliniyor).

Ne Mezapotamyalilar ne de biraz sonra söz edecegimiz eski Misirlilar AÇININ ÖLÇÜLMESINI tam olarak gelistiremediler. Ancak yapi kirislerinin egimi hesabinda KOTANJANTA benzer bir kavram gelistirmislerdi. π yerine yaklasik degerler kullaniliyordu.

Geometrinin orijinin Misir olduguna iliskin yaygin fakat YANLIS bir kanaat (ve birçok kaynak!) vardir. Oysa Misirdaki matematiksel gelismeler, Mezapotamyadakileri yaklasik 500 yil sonradan izlemistir. (Bu yanlis bilginin kaynagi Mezapotamyadaki BABIL TABLETLERININ sifrelerinin çok geç, ancak 130 yil önce çözülmeye baslamasidir). Misirlilar bu kavramlar disinda

GEOMETRIK ESLIK kavramini kullandilar

M.Ö. 2800 lerde BÜYÜK PIRAMIDI insa ettiler [kare piramidi, (taban çevresi/yükseklik)≈2π, Günes isinlarinin hareketine göre sifreli iç yapisi gibi önemli özellikleri var].

Insanoglu yazinin icadindan hemen sonra tekerlegi icat edince (M.Ö. 3000) ulasim ve ticarette ulasilan kolayliklarin sagladigi gelismeler sayesinde π sayinin varligi ile karsilasti. Çember, daire, kare, silindir gibi basit geometrik sekillerle ilgili olan bu harika sayi tamamen geometri orjinlidir. (r yariçapli çember için, π=çevre/2r=alan/r nin karesi). Π üzerinde Mezapotamyalilar, Misirlilar, Çinliler, Hintliler, Helenler, ve hatta 1600 lü yillardan itibaren bir çok büyük matematikçi ugrasmislardir. Irrasyonelligi 1767 J. F. Lambert tarafindan ve transandant bir sayi oldugu çok sonralari (1882 de Alman matematikçi F. Lindemann tarafindan) ispatlanmistir.

   Geometrideki gelismeler, daha sonra Bati Anadolu da devam etmektedir. Grek genislemesi ile Misir ve Mezapotamyadan ögrenilen bilgiler Miletli Tales (M.Ö. 595) ve hemserisi Pisagor (M.Ö. 540) tarafindan islenmis ve gelistirilmistir. Tales ve Pisagor'un DEDAKTIF GEOMETRI çalismalarindan hiçbir belge bugüne ulasmamistir. Ancak özellikle Pisagor ögrendiklerini ve bildiklerini bir çesit okul kurarak skolarlarina aktarmistir. Bu dönemde ISPATLI GEOMETRIye geçilmistir. Daha sonra gelismeler, Trakya, Mora yarimadasi ve Italya'ya yayginlasti. Cetvel ve Pergel yardimiyla;

Bir çemberinin alanina esit alanli kare çizmek

Açiyi üçe bölmek

Küpün hacmini iki katina büyütmek

gibi klasik problemler ve benzerleri bu dönemde (M.Ö. 4. asirda) çalisilmistir. (bu problemlerin izleyen asirda cebirsel egriler yardimiyla çözüldügü biliniyor). Geometri o kadar önem kazanmisti ki geometriye dogrudan hiçbir katkisi olmayan Plato kurdugu okulun kapisina BURAYA GEOMETRI BILMEYEN GIREMEZ yazisini koydurdu. Sonra Eudemus (M.Ö. 335) GEOMETRI TARIHIni yazdi, Aristeaus (M.Ö. 320) KONIKLER konusunu ayrintili inceledi.

   M.Ö. 323 de Büyük Iskender'in ölümü ile üçe parçalanan Roma Imparatorlugunun Misir kesiminde I. Ptolemi döneminde bilimin yeniden sahlanmasini saglayan gelismeler oldu. Iskenderiye'de tamamen serbest egitim veren okullar kuruldu. Öklid M.Ö. 300 lerde ELEMENTLER adli eserleri yazdi. Bu eserler üzerine çok sey söylenebilir. Bugün bile ilkögretim ve liselerimizde okutulan bilgilerimizin hemen hemen tamami bu eserlerde vardir. Tales, Pisagor ve Pisagoryanlarca ispat edilmis geometrik ifadeler bu dönemde mükemmellestirildi. Plato okulundan yetistigi sanilan ve iyi bir yazar olan Öklid'in adi bu eserlerle yasamaktadir. Daha sonra M.Ö. 140 da Hiperkus, ilk düzenli TRIGONOMETRI eserini yazdi, Heron birinci yüzyilda bazi formüller gelistirdi ve geometriye dayali birçok icatlar yapti. Pappus M.S. 320 de Pappus teoremini de kapsayan KOLEKSIYONU yazdi. (Pappus teoremi altigenlerle ilgili bir özellik olarak ispatlaniyor, ama bugün Projektif geometride önemli bir role sahip bir aksiyom olarak bile kullanilmaktadir).

1143 yilinda ELEMENTLERin bati dillerine çevrildigi ve izleyen dönemlerde yavas yavas okullarda sistematik olarak okutuldugu görülüyor. 1635 de Cavalieri GEOMETRI adli eserini yayinliyor, 1637 de Descartes ANALITIK GEOMETRIyi kesfediyor. 1639 ve 1640 da sirayla Desargues ve Pascal bugün kendi adlariyla bilinen teoremlerini de kapsayan eserlerini yayinliyorlar. 1678 de Ceva TEOREMInin ispati veriliyor.

1670 de HIPERBOLIK GEOMETRININ ortaya atilisi, 1794 de Legendre'nin GEOMETRININ ELEMANLARI, 1801 de Gauss'un PARALELLIK kavrami üzerine çalismalari, 1826 da Poncale ve Plucker'in geometride DUALLIK ILKESI, 1827 de Mobius, Plucker ve Feurbach'in HOMOGEN KOORDINATLARI isleyisleri gerçeklesiyor.

1822 de Poncale'nin bugün kendi adiyla anilan teoremlerinide kapsayan DENEMELER adli eseri yayinladi. Kazan üniversitesinden Lobacevski'nin 1829 da yayinlanan çalismalari ve bu konuda daha önce ayni sonuçlara ulastigi ve ispatlar anlasilan Macar Bolyai'nin çalismalari ile ÇOK PARALELLI (=hiperbolik) GEOMETRILERIN VARLIGI görüldü.

1843 de 4-boyutlu uzayin vektör cebri ile ilgili olarak Hamilton KUATERNIYONLARI kesfedildi ki bu kavram bugün en ilginç ve somut (Dezargsel fakat Pappussel olmayan) projektif düzlemlerden birini insa etmekte kullanilmaktadir.

Daha sonraki yillarda ses getiren eserler olarak 1847 de Von staudt'un GEOMETRI DER LAGE'si, 1854 de Riemann'in HABITATIONSCHRIFT'i, 1872 de Klein'in yayinlari ve son olarak 1889 da Hilbert'in GRUNDLAGEN DER GEOMETRI'si görülüyor. Bu son eser çok önemlidir onun üzerine daha sonra konusulacaktir.

Düzenli geometrik sekiller tarihsel olarak nerelerde görülmektedir sorusunu yanitlayarak bu kismi bitirelim: Gelisme ve medenilesmeye baslayan toplumlarda ilk düzgün geometrik sekiller, sirayla, tarla ve baglar gibi bölünerek islenen arazi parçalarinda; tapinaklar, sinagoglar, katedral-kilise ve cami gibi toplu ibadet yerlerinde; su kanallari, köprüler, kervansaraylar gibi ulasimla ilgili yapilarda; han, kral, padisah ve imparator saraylari, Türbeler, Firavun Mezarlari ve sehir surlari gibi yapilarda; ve günümüzde her türlü mimari eser ve çok sayida modern teknik araçlarda görülmektedir.

Öklid Disi (non-Euclidean@Öklidyen Olmayan) Geometriler

Kisaligi saglamak için izleyen iki kisimda sadece düzlem geometri üzerinde durulacaktir. Öklid düzlemi yada kisaca düzlem denilince, herkesin anlayacagi bir dille söylersek, her dogrultuda sinirsiz uzayan düz pürüzsüz yüzey kastedilir. Noktalar ve dogrulardan olusan düzlemde nokta ve dogrularla ilgili bazi ifadelerin geçerlilikleri ispata gerek duyulmadan kabul edilirler. AKSIYOM denilen ve dogal olarak saglandigi varsayilan bu ifadelerin ispati (asikar oldugundan) mümkün degildir. Geometri de kabullanilen aksiyomlarin SONUÇLARI incelenir. Öklid Düzleminin Aksiyomlari EK-1 de verildigi gibidir.

   Zaman içinde Öklid'in V. POSTULAT'i Playfair aksiyomu adiyla daha kisa ve özlü olrak; düzlemde bir dogruya disinda verilen bir noktadan geçen bir tek paralel dogru çizilebilir biçiminde ifade edilmistir. Öklid dönemi ve öncesinde, bu ifadeye "kesin olarak geçerli" denilemedigi, yani süphe edildigi, içindir ki aksiyom olarak degil, postulat olarak ifade edilmistir. Gerçekten de GAUSS da dahil bir çok büyük matematikçiler bu ifadeyi ispatlamaya çalismislardir. Ancak 1820 lerin sonunda Bolyai ve Lobacevski V. Postulatin diger aksiyomlarin sonucu olmadigini; bu postulat disindaki bazi Öklid Aksiyomlariyla birlikte

H:Bir dogruya disinda verilen bir noktadan geçen iki (yada daha çok sayida) paralel dogru çizilebilir

ifadesi alinarak yeni bir geometri olusturulabilecegini gösterdiler. Böylece hiperbolik geometri, dolayisiyla ÖKLID DISI GEOMETRI kavrami ortaya çikti. Öklid aksiyomlarini saglayan bir tek düzlem varken Bolyai-Lobacevski aksiyomlarini gerçeklestiren bir çok reel model gelistirilmistir. Bunlarin bir kaçini belirtelim:

Taksi Düzlemi

Klein Modeli

Maksimum Düzlem Modeli

Poincare Üst Yari Düzlem Modeli

Poincare disk Modeli

......

Gauss ve Riemann'in çalismalari ile hiperbolik geometrideki gelismeleri degerlendirerek

P : Farkli iki dogru bir tek noktada kesisir

ifadesini ve bazi Öklid aksiyomlari ele alinarak PROJEKTIF GEOMETRI (ve genelde Eliptik Geometri) gelistirildi. Üstelik, sonsuz çoklukta projektif düzlem bulundu. Bugüne kadar bu konuda milyonlarca arastirma (makale), yüzlerce kitap yazildi ve hala çözülmeyi bekleyen çok sayida önemli problemler vardir. Böylece V. Postulat, H ve P nin hepsinin ayri ayri geçerli oldugu geometriler ortaya çikti.

Öklid'in elementlerindeki aksiyomlarda var olan bazi belirsizlikler ve eksiklikler, uzun yillar boyunca bilinmesine karsin, aynen kullanilmislardir. Ancak Hilbert 1889 da çaginin bilgileriyle Öklid düzlemin aksiyomlarini yeniden düzenlemistir. GRUNDLAGEN DER GEOMETRI adli eserdeki bu aksiyom sistemi EK-2 de verilmistir.

Artik Öklid düzlemi için, tüm matematik dünyasinca "mükemmel" olarak degerlendirilen bu aksiyom sistemi (Hilbert Düzenlemesi) geçerlidir denilebilir. Ancak 20. yüzyilda çagdas matematik bilgileri göz önüne alinarak daha kisa ve daha rafine bir aksiyom sistemi olusturulmustur. F. Krause'nin TAXICAB GEOMETRY adli kitabindan aldigim ve son zamanlarda Öklid düzlem geometrisi (SMSG geometrisi dahil) isleyen birçok eser de kullanilan Birkhoff'un METRIK AKSIYOMLARININ bir modifikasyonu olan bu aksiyom sistemi EK-3 de verilmistir.

Bu aksiyom sistemlerinin karlilastirilmasini ilgilenenlere birakarak konumuzu biraz degistirelim.

3. Öklid Disi Geometri Anlayisinda Degisiklik

Tarihsel olarak, paralellik aksiyomunu saglamayan her Geometri Öklid disi bir geometri olarak bilinmektedir. Fakat artik Hilbert (veya es anlamli olarak Birkhoff) tarafindan verilen aksiyomlardan "en az birini saglamayan bir geometri Öklidyen olmayan bir geometridir" anlayisi yerlesmis bulunmaktadir. Örnegin, Taksi geometri, KRAUSE düzenlemesindeki paralellik aksiyomu dahil 12 aksiyomun hepsini saglayan fakat sadece KAK:(Üçgenlerde Eslik) Aksiyomunu saglamayan bir geometridir. Dolayisiyla Öklidyen olmayan geometriler spektrumu oldukça büyük hale gelmistir. Bu konuda daha baska örnekler, projektif, hiperbolik veya metrik geometrilerden kolaylikla hemen verilebilir.

Geometri ve Öklid Disi Geometrilerin Ögretimdeki Yeri ve Önemi

Olaylarin algilanmasinda resim, fotograf, grafik gibi sekillerin önemi yadsinamaz. Bir anlamda sekil bilgisi de demek olan geometri matematik ögretiminde yerine hiçbir sey konulamayacak seçkin bir role ve öneme sahiptir. Okuttugum bir çok derste ögrencilerime sunu tekrar tekrar söylüyorum: Matematikte hiçbir kavram yoktur ki uygun bir sekille anlatilamasin. Eger bir konuyu iyi biliyorsaniz onu uygun bir sekille açiklayabilirsiniz. Sekille açiklayamadiginiz yani, geometrik yorumunu yapamadiginiz bir konuyu iyi bilmiyorsunuz demektir. Dilerseniz bana bu konuda herhangi bir matematik kavramini sorabilir ve geometrik açiklama isteyebilirsiniz! Bu sebebledir ki son yirmi bes yildaki tüm derslerimde anlattigim her konuda temsili sekiller çizmegi aliskanlik haline getirdim. Çünkü görmek anlamayi kolaylastirir (Ingilizce'de "anliyorum" anlaminda da "görüyorum" ifadesinin sikça kullanilmasi bosuna degil!). Ülkemizde ilk ve orta ögretimde (hatta birkaçi hariç üniversitelerimizde) Öklid geometrisi ve onun uzantilari olan afin uzaylar ve differensiyel geometri konulari incelenir. Öklid disi geometrilerin de sadece varligindan bir kaç cümle ile söz edilir. Oysa benzerlik, farklilik, aykirilik ve zitligin ögretimdeki büyük rolü inkar edilemez. Çünkü kötüyü bilmeden iyiyi, çirkini bilmeden güzeli, kisa kavramini belirlemeden uzun kavramini anlamlandiramazsiniz. Yine birbirine çok benzeyen iki seyi ayirabilmek için farkliliklarini ortaya koymak gerekir. Gelelim Öklid disi geometrilere. Kanatimce Öklid disi geometrilerin sadece varligindan söz edip birakmak oldukça sakincalidir. Nitekim, ABD ve bazi uzak dogu ülkelerinde orta ögretim programlari Öklid disi geometrilerden bazi örneklemelerle -basitlestirilerek- donatilmaktadir. Ögretmen yetistiren ögretim kurumlarinda Öklid disi geometriler ve Elementer projektif geometri mutlaka okutulmaktadir. 1980 öncesi yillarda "Egitim Enstitüsü" adi altinda ögretim yapan okullarin programlarinda elemanter projektif geometri dersi vardi ama okutacak ögretmen yoktu. Bugün ilk ve orta ögretimde görev yapan ögretmenlerimizin yüzde doksan dokuzunun yukarida saydigim konularda yetersiz ve donatimsiz oldugu bir gerçektir. Bunun sebebi ögretmenlerimiz degil fakat yeterli kadrolara sahip olmayan yüksek ögretim kurumlarimiz ve bizleriz. Konusmaciniz bunun bilincine ancak ellili yaslarinda ulasmistir ve bu bosluk ve eksikligi kendi çapinda gidermek için bazi gayretler içindedir. Su anki teblig de bu düsüncenin eseridir.

   Burada su sorular sorulabilir: Öklid disi geometrilerin orta ögretimle ilgisi nedir? Bunlar hangi kapsamda ve nasil anlatilabilir? Mevcut eksiklikler nasil giderilir?

   Sorularin kisa cevabi kanaatimce söyle özetlenebilir:

Son sorudan baslarsak, eksikliklerin giderilmesi için ögretmen yetistiren yüksek ögretim kurumlarinda Öklid geometrisi ve Öklidyen olmayan geometrilerin okutulmasi gerekir.

Son elli yilda artik EK-3 de sunulan (Metrik yaklasimli) aksiyom sistemi kullanilmaktadir. Oysa gerek taksi geometri, gerek maksimum metrigi ile gelistirilen geometride Öklid düzlemi ile ayni nokta ve dogru kümeleri kullanilmakta, açilar da ayni yolla ölçülebilmektedir. Bunlarin her ikiside 13 aksiyomdan 12 tanesini saglamakta sadece Kenar-Açi-Kenar (KAK) aksiyomununda aykirilik göstermektedir. Sonuç olarak KAK aksiyomunun da Öklidyen geometri için kritik ve belirleyici aksiyom oldugu görülmektedir. Buradaki önemli husus, Öklidyen geometride birçok baska kavramlarida belirlemekte ve tanimlamakta kullanilan UZAKLIK kavraminin tanimindan ortaya çiktiginin ögretici tarafindan iyi bilinmesidir. O, ögrenciye pedagojik nedenlerle bu yeni modelleri tamamen veremese bile kendince örnekler düzenleyebilir. Asagidaki konular orta ögretimde basitlestirilerek örneklerle ögrenciye verilebilir:

Düzlem Taksi geometrisi tanitilir, modern yasamdaki çok sayidaki uygulamalari verilir. Öklidyen düzlem geometrinin 13 aksiyomundan 12 tanesini sagladigi fakat sadece KAK aksiyomunun saglanmadigi -asagidakine benzer bir örnekle- gösterilebilir.

Öklid geometrisinde "C, A ile B arasinda Û d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" arada olma aksiyomu bir çok metrik geometride gerli degildir. Örnegin; (1,-1)

"arada olma" yi daha belirlemek için metrik yaklasimda "C, A ile B arasinda ve CÎ Û d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" biçiminde gelistirilmistir.

Öklid düzleminin istenilen kadar büyük yariçapli fakat gerektiginde sinirli bir bölgede yasam uygulamasi mümkün kilan Klein Modeli tanitilarak Öklid disi geometri kolayca anlatilabilir. 

 - Bu modelde paralellik nasil tanimlanir?

- Paralel olmayan ve kesismeyen dogrular var mi?

- Paralellik aksiyomu disindaki aksiyomlar saglanir mi?

gibi sorulara cevap aranabilir.

Poincare'nin yari düzlem hiperbolik geometrisi tanitilir. Paralellik aksiyomunun saglanmadigi, üçgenin iç açilari toplaminin 180 den küçük oldugu kolaylikla gösterilebilir.

KAYNAKLAR

1.      W. W.  R. Ball, Ashort Account of the History of Mathematics Dover Pub, Inc., New York.

2.      C. B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley&Sous, New York (1968).

3.      S. R. Clemens, Non-Euclidean Distance, Mathematics Teacher, ? , 595-600 (1971).

4.      D. Hilbert, Foundations of Geometry (Grundlagen Der Geometri nin Ingilizce Tercümesi), Open Court Pub. Comp. (1950).

5.      R. Kaya, Projektif Geometri, Anadolu Üniversitesi yayini (1992).

6.      F. Krause, Taxicab Geometry, An adventure in Non-Euclidean Geometry, Dover Pub., Inc. New York (1975).

7.      G. E. Martin, Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane

8.      R. S. Millman-G. D. Parker, Geometry, A Metric Approach with Models, Springer Verlag, Berlin (1991).

9.      School Mathematics Study Group, Geometry, Pasedena, California.

10.  S. Stahl, The Poincare Half-Plane, Jones and Barlett Pub., Boston.

 

EK-1: ÖKLID AKSIYOMU ve POSTULATLARI

 

     Öklid ELEMENTLER adli 13 kitaptan olusan eserlerinden ilk 4 tanesinde düzlem geometriyi incelemektedir.Öklidyen geometrinin aksiyom ve postulat adiyla anilan iki tür varsayimi vardir, ve bu iki kavram arasindaki FARK daima soru ve tartisma konusu olmustur. Greekçe' den alinan axioma ( önemli, degerli, yakisir, uygun) sözcügü tamamen asikar, dogrulugundan süphe olmayan ifade anlaminda kullanilirken; postulat sözcügü dogru oldugu kabul edilebilen ifade yada baska bir deyimle dogrulugu çok asikar olmayan fakat geçerli oldugu varsayilan ifade anlaminda kullanilmistir. Bugün matematikte böyle ifadeler arasinda ayirim yapmaksizin hepsi aksiyom olarak, temel ön kabuller olarak, alinmaktadir. Öklid aksiyom ve postulatlarini tam yansitmak için onlari orijinaline uygun ingilizce ifadeleriyle vermegi tercih ediyorum:

AKSIYOMLAR

[1] Things which are equal to the same thing are also equal to one another.

[2] If equals added to equals, the whole are equal.

[3] If equals be subtracted from equals, the remainders are equal.

[4] Things which coincide with one another are equal to one another.

[5] The whole is greather than the part.

POSTULATLAR

[1] To draw a line from any point to any point.

[2] To produce a finite straight line continuously in a straight line.

[3] To describe a circle with a circle with any center and distance.

[4] That all right angles are equal to one another.

[5] That, if a straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side of which are the angles less than the two right angles.

 

Not: Öklid aksiyom ve postulatlarinda görülebilen eksiklik ve muglakliklarin bir çogu, yine önceden verilen 23 tanimla kismen takviye edilerek tamamlanmaya çalisilmistir.

KAYNAK: "Euclid's Elements, book I." olarak internetten bakilabilir.

EK-2:ÖKLIDYEN DÜZLEM AKSIYOMLARININ

           D.Hilbert TARAFINDAN YENIDEN DÜZENLENMISI

 

I - KONUM (Connection or Incidence) AKSIYOMLARI

 

[1] Birbirinden farkli iki nokta üzerinde en az bir dogru vardir. (Farkli iki noktadan en az bir dogru geçer).

[2] Birbirinden farkli iki nokta üzerinde en çok bir dogru vardir. (Farkli iki noktadan en çok bir dogru geçer).

[3] Her dogru üzerinde en az iki nokta, ve disinda en az bir nokta vardir.

 

II - ARA (Order) AKSIYOMLARI

[APB], P  noktasinin A ile B arasinda oldugunu göstermek üzere:

[1] [APB] ise  A, P, B noktalari farkli olup dogrudastir ve [BPA] dir.

[2] Farkli ve dogrudas olan üç noktadan ancak birisi öteki ikisi arasindadir.

[3] A ve B bir l dogrusu üzerinde farkli iki nokta ise, l üzerinde [ABP] olacak biçimde en az bir P noktasi vardir.

[4] (PASCH aksiyomu) A, B, C dogrudas olmayan üç nokta ise ve ABC düzleminin, A, B, C nin hiçbirinden geçmeyen bir l dogrusu (BC), (CA), (AB) açik dogru parçalarindan birini keserse, öteki ikisinden bir tekini de keser.

 

III - ESLIK (Congruence) AKSIYOMLARI

 

[1] [AB]bir dogru parçasi, ve [A´P  herhangi bir isin ise, bir ucu de, öteki ucu isin üzerinde olan ve [AB] ye es bulunan bir tek [A´B´] dogru parçasi vardir.

[2] Dogru parçalari için eslik bagintisi geçiskendir, yani

.

[3] [APB]ve [A´P´B´]için

.

[pq], p ve q isinlarinin olusturdugu açiyi;

[prq], [pq] açisinin bir iç noktasi R iken r = [OR isininin p ile q nun arasinda kaldigini;

[lP, düzlemde l dogrusu ile birlikte, l nin disindaki P noktasini üzerinde bulunduran yari düzlemi (düzlem-isin) göstermek üzere:

 

[4] [hk] bir açi, ve [lP hrhangi bir kenari l üzerinde, öteki kenari düzlem-isin üzerinde olan ve [hk] ye es bulunan bir tek [h´k´] açisi vardir.

[5] Açilar için eslik bagintisi geçiskendir, yani

.

[6] [hrk], [h´r´k´] için

 

Üçgenlerde esligin KAK tanimi: Aralarinda  gibi bir esleme kurulmus olan iki üçgende karsilikli ikiser kenar  birbirine es ise ve ayrica bu kenarlar arasindaki açilar da es ise bu iki üçgene es üçgenler denir.

[7] Birbirine es olan iki üçgende karsilikli taban açilari estir.

 

IV - ÖKLID PARALELLIK (Parallel) AKSIYOMU

 

Baska iki dogruyu kesen bir dogru, bu iki dogru ile ayni tarafta, toplamlari  den küçük açilar olusturursa, iki dogru bu açilarin bulundugu tarafta kesisirler.

 

V - SÜREKLILIK (Continuity) AKSIYOMLARI

 

[1] (ARCHIMEDES veya CANTOR aksiyomu)   bir l dogrusu üzerinde içiçe dogru parçalari ise, l üzerinde, kendisine göre, bütün  ler ayni tarafta ve bütün  ler ters tarafta olacak biçimde bir P noktasi vardir.

[2]  (Tamlik Aksiyomu) Nokta, dogru (ve düzlemlerin) olusturdugu sisteme, bu bes grup aksiyomun hepsine uyan yeni bir geometri olusturacak sekilde baska elemanlar eklemek mümkün degildir. Baska bir deyimle, geometrinin elemanlari, bes aksiyom grubu saglandigi sürece, süphe kabul etmeyen bir sistem olusturur.

KAYNAKLAR

1- David Hilbert, Foundations of Geometry, Open Court Pub. C., 1950.

2- Hüseyin Demir, Öklid Geometrisi, ODTÜ, 1987.

 

EK-3: ÖKLIDYEN DÜZLEM GEOMETERI AKSIYOMLARI

                 (METRIK YAKLASIM)

 

"Öklidyen düzlem geometri";

-         P; noktalar kümesi,

-         L; P nin alt kümelerinin bir ailesi olan dogrular,

-         m; açi ölçme fonksiyonu,

-         ; uzaklik fonksiyonu,

olmak üzere asagida verilen onüç aksiyomu saglayan [P,L, ,m] matematiksel sistem olarak düsünülebilir. ( Bu onüç aksiyom antik çagda Öklid tarafindan bulunan modern bir aksiyomlar kümesinin, bugün indirgenmis son seklidir).

 

Ilk iki aksiyom üzerinde olma aksiyomlari olarak bilinir.

 

[1] Verilen iki noktayi içeren bir tek dogru vardir.

[2] Her dogru en az iki nokta içerir. P kümesi dogrusal olmayan en az üç nokta içerir.

 

Bunlari izleyen dört aksiyom uzaklik fonksiyonunun pozitif tanimli, simetrik ve üçgen  

esitsizligini sagladigini gösterir. Ayrica cetvel aksiyomu denilen aksiyom saglanir.

Detayli olarak,   için bu dört aksiyom asagidaki gibidir.

[3] Her sirali (A,B) nokta çifti için (A,B) sayisini belirtir. Ayrica (A,B)=0 olmasi için gerek ve yeter kosul A=B olmasidir.

[4] (A,B)= (B,A) dir.

[5] (A,B)+ (B,C)> (A,C) dir.

[6] Verilen bir L dogrusu fL:L!R bire-bir ve örten fonksiyonu vardir öyleki L üzerindeki tüm A, B noktalari için;

|fL(A) - fL(B)|= (A,B)

olur.

 

Simdiki aksiyom düzlem ayirma aksiyomudur.

 

[7] Verilen bir L dogrusu için P nin H1 veH2 gibi yari düzlem olarak adlandirilan iki alt kümesi vardir öyleki,

     (i)  H1 veH2 konvekstir;

     (ii) H1 [H2  = P - L (P den L nin atilmisi demektir);

     (iii) A2H1 ve B2H2 ise \L ¹ Æ.

olur.

 

Simdi verecegimiz dört açi-ölçme aksiyomu bir bütün olusturur.

 

[8] m, her bir açi için 0 ile 180 arasinda degisen bir reel sayi degeri ile belirtir.

[9] H yari düzleminin kenari üzerinde bir  isini ve 0 ile 180 arasinda herhangi bir r reel sayisi verilsin. Bu durumda P2H olmak üzere mÐPAB = r olacak sekilde bir tek isini vardir.

[10] Eger D noktasi ÐABC nin iç bölgesinde ise

mÐABD + mÐDBC = mÐABC

dir.

[11] Eger B noktasi, A ile C arasinda ve DÏ   ise,

ABD+mÐDBC = 180

dir.

Siradaki aksiyom [P,L, ,m] sisteminin kenar - açi - kenar aksiyomudur.

 

[12] Iki üçgenin köse noktalari arasinda bire-bir bir esleme verilsin. Eger birinci üçgenin iki kenari ve aralarindaki açi, ikinci üçgenin karsilik gelen kenarlarina ve açiya es ise bu esleme bir eslik (çakisma) dir.

Son aksiyom [P,L, ,m] sisteminin ünlü paralellik aksiyomudur.

[13] L dogrusunun disinda bir P noktasi verilsin. Bu durumda P noktasindan geçen ve L dogrusuna paralel olan bir tek dogru vardir.

 

KAYNAK

 E. F. Krause, Taxicab Geometry, Dover Pub. Comp., New York (1975).