The Rangers' cupboard of talent is rather barren at the moment. For running backs at the Combine, Authentic Jared Spurgeon Jersey 40-yard dash is the Anthony Steen Youth Jersey Edgartown selectmen ask for $3 million to buy downtown property Voters see two articles The selectmen plan two articles concerning the long-vacant property. It took him barely any time at all to register his first highlight as a member of SKA St.

Leyden , 29- 5.
According to , the Browns were heavy discussions with Crowell during the about a potential extension and could reach an agreement before the 24-year-old back is scheduled to become a restricted free agent. led the MAC punt return average as a senior and earned third-team all-conference recognition at Felix Potvin Youth Jersey recording Ronde Barber Jersey interceptions:

I think that it's even too soon to tell what the legacy of the 60s be. joins starting safety Iloka and Pro Bowl cornerback Adam Jones as the other defenders who have re-signed with the Bengals since the start of Wednesday's free agency period.

Week 12 of 2011ers 16 loss to the Baltimore Ravens If you're hungry, we've got to go take it!

FAYETTEVILLE, Ark. Silverfarb is quite familiar with Fairfield County, as he grew up Trumbull, currently resides Fairfield and worked as sports editor of Nike NFL Jerseys Size Chart the Sentinel, Greenwich Post and Norwalk Citizen~News combined for nearly two decades. Visitation is 3 p.m. Beach also provided the court with a dozen character reference letters, noted that four people were the courtroom, Authentic Morten Andersen Jersey Beemer's wife and mother, to support him, and added that Authentic Tyreek Hill Jersey is a father of four. CSN has a new Wizards podcast! I was definitely pleasantly surprised, said Dan Jablonic, the hockey director at the Kettler Iceplex. Dieruff was the first area school to get a ball, however, and , who have the field at J. Scrivens relieved Mike Condon Saturday night's 5 loss to the Rangers. Eric Weddle is coming off excellent at safety, but do the Ravens want to go another with 31-year-old Lardarius Webb as the starter next to Weddle? I just felt like I wasn't a normal Mike Remmers Youth Jersey and I hated it. This combo comp reflects the fact that there isn't currently a player the league who's really like Ball -- with a playmaking ability like Kidd, Wholesale NHL Jerseys along with the physicality and 3-point accuracy.

United Press International is a leading provider of Howard Wilson Jersey photos and information to millions of readers around the Cheap NFL Jerseys Paypal globe via and its licensing services. Airports Terence Newman Jersey . The combination of his imposing seven-foot frame and wet jump shot from anywhere on the court ensured that. You think beyond sport, the most memorable is Joe Rosenthal at Iwo Jima.

Hayward struggles loss to MEM He really struggled to score tonight and missed all three of his triples, but salvaged his line with eight rebounds, five assists Melvin Ingram Jersey one block 36 minutes. That the team gave Ichiro the number that had once been worn by was no coincidence. A corporal the US Marines during World War II, he had his rifle shot right out of his hands during the invasion of Guam, picked it up and Henrik Borgstrom Jersey kept on going. 2 point guard job, Baldwin is only a super deep stash re-draft. Thanks for reading everyone! Colt , Tyrod or any other average qb put up comparable numbers Gruden's system which the qb puts up almost 40 attempts per game. There is always pressure to acquire Authentic Brad Nortman Jersey but it got turned up a notch on Jatavis Brown Jersey manager Ozzie Newsome when Orr left the sport because of a congenital neck and spine condition. However, he spoke highly of Pettway's ability to hurt opposing defenses with his physical style.

He's also the quarterback that slides. Radim Vrbata – The Habs Wholesale Jerseys Cheap went after him two years ago and just missed out. Part of it is personnel. He's already surpassed career highs goals, assists and points. That would have crumbled a lot of players. C McCann was rested against the left-hander Cheap Jerseys Wholesale favor of Romine, even though McCann is 10 Nike NFL NHL Jerseys Wholesale Jerseys Wholesale for 29 with three homers vs. Authentic Orlando Pace Jersey 's play Shawn Matthias Womens Jersey since dropped off, there's no denying that his time the AHL certainly didn't hurt his development.

He was signed by the Detroit Tigers, but didn't pitch the major leagues 1992. He shook his head as he sighed. Rio Brining playoff football back to Oakland for the first time since Pernell McPhee Jersey is now small feat for Rio. Plus, Leonard Williams Jersey from New , they got to rent cars when they went out there. Peterson however doesn't have a niche. Following the win, Twitter exploded with support for Steve McLendon Youth Jersey Team, from players, Cowboys legends, celebrities, media members and fans. Gasol looks back fondly on their dinners together. The 6-foot-6-pound earned All-ACC first-team honors from Mark Duper Jersey conference's coaches last after tallying 82 total tackles to go along with 11 quarterback sacks and 14 QB pressures. Just try not to think about it, and go out there and play.

I threw it all away because I had to be what never was Been so hungry I could lie Took word, I took your wine And held you bloody hands These rattled Phil McConkey Womens Jersey and rubber bands Washed them the muddy water Looking for a dime and found a quarter But you can't make me Robert Griffin III Womens Jersey name They'll never make me change name Pay no mind now ain't that's something Fuck it all I came from nothing.
Same with Toronto and Zaitsev, although he's a restricted free agent. What did jumping over STUFF with both legs over him horizontally was .


MATDER - Matematikçiler Derneği


Konu : Öğrencilerin öğrenme güçlüklerini, ortak yanlışlarının gerisinde yatan kavram yanılgılarını gidermek, kavram eğitimini gerçekleştirmek amacıyla çeşitli öğretme-öğrenme etkinlikleri düzenlenebilir; bu amaçla değişik araçlar kullanılabilir ve çeşitli öğreti
Yazar : Yaşar ERSOY - Halil ARDAHAN
Tarih : 30.04.2003
E-mail :  


Özet: Öğrencilerin öğrenme güçlüklerini, ortak yanlışlarının gerisinde yatan kavram yanılgılarınıgidermek, kavram eğitimini gerçekleştirmek amacıyla çeşitli öğretme-öğrenme etkinlikleri düzenlenebilir; bu amaçla değişik araçlar kullanılabilir ve çeşitli öğretim materyalleri geliştirilebilir. İlköğretim okullarında Kesirler ünitesinde öğretilecek kavramları ve işlem becerilerini içeren, sınıf ortamında öğrenci ve öğretmen ve arasında daha etkin bir  etkileşim sağlamak amacıyla yapısalcı/ oluşturmacı yaklaşımla öğretim materyallerinin daha etkin ve yararlı olacağı varsayılmaktadır. Bu amaçlar öğretim materyalleri tasarlandı; 2000-02 öğretim yıllarında Konya' da iki ilköğretim okulunda materyaller bir süre denendi. Bu incelemede tanıya dayalı öğrenme-öğretme etkinliklerin özellikleri açıklanmakta, öğrenci görüşleri sıralanarak matematik eğitiminde öğretim materyali geliştirme etkinliği konusu tartışmaya açılmaktadır. 

Anahtar Kelimeler: Matematik  öğretimi, Etkileşimli öğretim, Teşhis edici öğretim,Yapısalcı yaklaşım

  • 1. GİRİŞ

Son elli yılda Matematik eğitiminde, özetle Matematiğin ne olduğu, ilköğretim düzeyinde ne ölçüde ve nasıl öğretilmesi gerektiği konularda önemli düşünce değişiklikleri ve bir takım yenilikler olmuştur (örneğin, Piaget, 1953; Skemp, 1971; Vygosky, 1978; Verschaffel ve de Corte, 1996, vd). Matematik eğitimindeki yeni anlayış, matematiğin tanımına da uygun olarak salt matematik öğrenme yerine matematik yaparak, düşünceleri yansıtarak matematik öğrenmeyi temel almaktadır. Bu durum,  matematik eğitiminde köklü bir yenilik olup çok sayıda toplumda yeniliği benimseme ve söz konusu değişim kolay olmamakta; geçiş sürecinde sancılı bir dönem yaşanmaktadır (Ersoy, 2000). Belirtilen bu yaklaşım ve anlayış, ayrıca gözlemlenen genel durum,  yalnızca Matematik eğitimine özgü bir sorun değildir. Daha açıkçası, her ülkede aynı ölçüde ve yaygın olmasa bile Türkiye'de nerdeyse tüm okullarda matematik öğretimi ve eğitimi (MÖvE)'nde çeşitli sorunlar yaşanmaktadır. Örneğin, ilköğretim ve ortaöğretim öğrencileri, matematik konularını öğrenmede bir takım güçlüklerle ve sıkıntılarla karşılaşmakta; ayrıca, matematik derslerinden soğmakta ve kaygı duymaktadırlar.

Okullarda gözlemlenen ve bazı araştırmalarla belirlenen tüm bu olumsuzlukların çok sayıda nedeni olup bir takım olumsuz etmenler ise süreci hızlandırmakta; matematik eğitimi sorunlardan bir kısmını azıtmaktadır. Bu nedenle, öğrencilerin akademik başarısızlığı, genelde birçok sınıf düzeyinde ve bazı konu alanlarında yoğunlaşmakta olduğu, bir kısmına çözüm arandığı gözlemlenmektedir. Örneğin, Türkiye'de ilköğretim okullarında Kesir ve Ondalık Kesir  kavramlarının ve konularının öğretilmesinde öğretmenlerin, öğrenilmesinde de öğrencilerin bir takım güçlükleri vardır (Cankoy, 2000; İşeri, 1997; Toluk, 2000; Haser ve Ubuz, 2000; Ersoy ve Başgün, 2000, Ardahan ve Ersoy, 2002).

Yukarıda açıklanan nedenle, öğrenci başarı düzeylerinin okul ve sınıf düzeyinde araştırılması, olası olumsuz etmenlerin belirlerek bunların hızlıca giderilmesi, öğretmen eğitimininin çok yönlü olarak geliştirilmesi ve iyileştirilmesi, öğretmenlere görev başında yardımcı olunması gerekir. Sorunların giderilmesi yönünde Türkiye'de bazı çalışmalara başlanış olup bir takım etkinlikler, iyileştirme çalışmaları ve bilimsel araştırmalar, sürdürülmektedir. Örneğin, ilköğretim öğrencilerin başarı düzeylerini belirlemede, öğretmen yeterlikleri konusunda MEB ve YÖK birlikte bazı çalışmalar yapmaktadır (örneğin, EARGED, 1995, 1997, 1998). Bu bağlamda, öğretmen eğitimiyle ilgili olarak sınıf ortamında uygulanabilecek, uygun ve etkin öğretim materyallerine ve etkinlik kurgularına (senaryo) gereksinim olduğu gibi, öğretmenlerin yeni bilgi ve becerilerek edinerek yetkinleştirilmesi çözüm önerilerinden biri olabilir. Bu çalışmada, ilkönce yapısalcı/oluşturmacı yaklaşımla geliştirilen öğretim materyalleri hakkında bilgi verilerek öğrencilerde, bilişsel ve duyuşsal boyutta etkilerin sorgulanması, bir dizi olarak yayına sunulan incelemenin konusudur. Konya'da yapılmakta olan araştırma sürdüğünden konuyla ilgili temel bilgiler ve ön çalışmadan duyuşsal boyutta elde edilen bir takım sonuçlar bu incelemede yansıtılacak; diğer bulgular ve sonuçlar, araştırma tamamlanınca tüm ayrıntılarıyla birlikte rapor edilecektir.


Her ülkede olduğu gibi Türkiye'de de ilköğretim okullarında kesirlerin  öğretiminde bir takım sıkıntılar, güçlükler ve giderilmesi gereken sorunlar vardır. Bu konuda bir anımsatma olması ve öğretim materyali geliştirmenin gereginin anlaşılması bakımından, burada kısa ve özet  bilgiler sunulmaktadır.


2.1. Öğretim Programları ve Konuların Yapılandırılması

Varlıkların özellikleri, ritmik sayma ve doğal sayılar kavramı ve bazı temel işlem bilgileri öğrenildikten sonra öğrenciler, küçük yaşta kesir kavramlarını edinmeye ve günlük yaşantısında bazı sözcükleri kullanmaya başlar. Belkide bazı önbilgiler, örneğin tam ve yarım, kavram düzeyinde olmasa bile günlük yaşantılarında deneyimlerle edinilmiş, ilköğretime başlandığında imleme (notasyon) olarak algılama ve kavramaya dönüşme aşamasındadır.  Bu nedenle olacak ki Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) hazırladığı ve tüm ilköğretim okullarında uygulanan Matematik Programına (MEB, 1998) göre kesir kavramı (yarım kavramı) ilköğretim birinci sınıfta başlar; kesirler, ondalık kesirler ve rasyonel sayılar olarak ilköğretimin tüm sınıflarında, ön koşulluk ilkesi ve öğrencilerin hazır olma durumunu gözeten görüşler doğrultusunda öğrenme konusu olma özelliğini sürdürür.









     Şema 1. İlköğretim Matematik Programında Kesir ve Ondalık Kesir Konuları

İlköğretim matematik programı, bilindiği gibi, sarmal bir yapıda olup yatay ve dikey boyutta kavram ve işlem bilgileri genişletilmekte; öğrencinin kazanacağı davranışlar yıllar ilerledikçe artmaktadır, Şema 1. Daha açıkçası, Türkiye'da ilköğretim 4. ve 5. sınıflarda Kesir ve Ondalık Kesirlerin her birine birer ünite yer ayrılmış olup bu sınıflarda öğrenme konusu olan toplama ve çıkarma, çarpma ve bölme ünitelerinde de Kesir ve Ondalık Kesirlerle ilgili işlemlere ve sözel problemlere yer verilmektedir. Kesir ve Ondalık Kesir bilgileri de belirtilen yapıda olup öğrenme-öğretme etkinlikleri ise ilk yıllarda somut araçların, daha sonra yarı somut/soyut araçlarla yapılması öngörülür, ilerki yıllarda ise soyut araçlarla, yanı sembolik anlatım ağırlık kazanır. Ancak, gerekli öğretim materyalleri ve araçlar, pekçok okulda bulunmadığından veya basit de olsa bir takım araçların üretilmesi ek bir yük sayıldığından tahta başında öğretmenin düz anlatımı yeğlenmektedir.

2.2. Kesirlerin Öğretiminde Güçlükler ve Ortak Yanlışlar

Kesirlerin öğretiminde güçlükler, ortak yanlışlar, olası yanılgılar, vd sorunlar, bir çok ülke ve okulda gözlemlenmiş olup bunların bir çoğu rapor edilmiştir (örneğin, Sweetland, 1984; Malcolm, 1987; Post, 1989; İşeri, 1997; Başgün ve Ersoy, 2000; Toluk, 2000; Haser ve Ubuz, 2000; Ardahan ve Ersoy, 2002). Öğrenci güçlükleri ve kavram yanılgıları, yalnızca rasyonel sayılarda değil okul matematiğinin diğer konularında da, örneğin cebir, olasılık ve istatistik, geometri, vd yaygındır. Bunların her biri pek çok ülkede birer araştırma konusu olup giderilmesi için araştırmacılar ve eğitimciler bir takım öneriler ve çeşitli öğretim materyalleri geliştirmektedirler. Yanılgıların temelinde, kavram bilgisi ve matematik işlem bilgilerinin birbirini tamalayacak biçimde öğrenilmemesi/öğretlmemesi, öğrencilerin problem çözmeyle ilgili gerekli bilgi ve becerileri yeterli düzeyde edinememeleri, uygulanan teslerde yapılan ortak yanlışlar incelendiğinde ise öğrencilerin yanlış kurallar kullanma, sürçmeler ve dikkatsiz işlem yapma gibi yetersizlikleri olduğu anlaşılmaktadır. Sorunun boyutlarının ve olası çözüm önerilerini belirlemede, daha etkin öğretim araç gereçleri geliştirme konularında, doğal olarak öğretmen ve uzman görüşlerine başvurulmakta, tasarlanan etkinlikler alanda denenerek, bilgi ve deneyimler paylaşılarak geliştirilmektedir. Bu konuda gözlemleri yansıtmak, bir kaç örnek üzerinde açıklama yapmak yararlı olacaktır.

1982'de ABD'de İkinci NAEP (The National Assessment of Educational Progress) alan taraması çalışmasında 13 yaşındaki öğrencilere 12/13 + 7/8 işlem sonucunu yaklaşık hesaplamaları sorulmuştur (NAEP, 1983).  Çoktan seçmeli teste, "1", "2", "19", "21,, "Bilmiyorum" yanıtları verilmiştir. Öğrencilerin %24'ü doğru yanıt "2" yi işaretlemiştir. Daha açıkçası, öğrencilerin %28'i, "19", %27'si, "21" işaretlemiş. Hilbert (1984; s.506) yanlış olan bu yanıtların, sırayla paydaki ve paydadaki iki sayıyı toplayarak elde etmiş oldukları biçiminde açıklamaktadır. Bu öğrenciler için her biri birden biraz küçük kesir sayıları anlam taşımamakta, böylece toplam olarak 2 yerine 19 veya 21 elde etmek işten bile sayılmamaktadır.

Baki'nin (1999), Noddings (1990) yaptığı bir alıntıya göre, ilkokul öğrencileri bir kesri, ondalık kesre çevirirken şu yanlışı yapmaktadırlar. "Öğrenci 5/3 kesrini ondalık kesir olarak yazarken 3 + 2 = 5 işlemini yapıyor sonra da 5'in önüne virgül atarak ondalığa çevirme işlemini tamamlıyor. Yani öğrenciye göre 3/2 = 0,5 oluyor. Aynı şekilde 2/3 kesrini de benzer işlemleri yaparak 0,5 olarak çeviriyor. Öğrenciye mantıklı gelen bu çevirme işlemi 3/2 = 2/3 çelişkisini doğuruyor."

Rasyonel sayıların, özellikle kesir ve ondalık kesirlerin öğretimiyle ilgili öğrenci güçlükleri ve yanılgıları belirlenmiştir (örneğin, Kerslake, 1986;  İşeri, 1997; Olkun ve Toluk, 2001).  Kesirlerin öğrenilmesi konusunda yapılan incelemelerde öğrencilerin güçlükleri ve kavram yanılgıları sınıflandırılabilmektedir. En yaygın kavram yanılgıları, özetle şunlardır:

  • ·   Öğrenciler, kesirin sembolik gösterimi a/b'yi bir tek sayı olarak algılamakta güçlük çekip farklı anlamları ve değerleri olan iki sayı olarak kavramaktalar.
  • ·   Öğrenciler paydaları farklı kesirleri toplarken, kesirlerin pay ve paydalarını ayrı ayrı toplayıp sıra ile pay ve payda olarak ifade etmekteler.
  • ·   Öğrenciler, kesirleri (küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe) sıralarken, doğal sayıları sıraladıkları gibi  davranmaktalar. Örneğin, paydaları farklı birim kesirleri sıralarken, öğrenci bir kesrin büyüklüğü ile paydasının büyüklüğü arasında ters bir ilişki olduğunu kavramamış olup yanlış yapmaktadır.
  • ·   Sayı doğrusu üzerinde, verilen basit veya tam sayılı bir kesre denk gelen noktayı gösterememek.


Hiçbir ilke ya da kurama bağlı olmadan öğretim yapmak olası ise de çağdaş eğitim anlayışında belli ilkeler doğrultusunda etkin öğrenme/öğretme kuramlarını ve yöntemlerini kullanarak eğitim etkinliklerini planlamak ve uygulamak gerekir. İlköğretim okullarında kesirlerin öğretimiyle ilgili olarak tanıya yönelik testler ve yapısalcı/ oluşturmacı eğitim felsefesi yaklaşımıyla geliştirilen, bu araştırmada eğitim aracı olarak kullanılan öğretim materyali hakkında genel bilgi verilmektedir.

3.1. Tanıya Yönelik Testler ve Öğretim Yaklaşımı

Gelenekselleşen ve öğretmenin etken olduğu anlayış ve yaklaşım yerine öğrencinin odakta bulunduğu, bir çok yönüyle daha etkin olduğu etkileşimli öğrenme süreçleri ve etkinlikleri yeğlenmelidir. Bu bağlamda, daha etkin öğrenme kuramlarına dayalı stratejiler, yöntem ve teknikler yeğlenmeli, uygun araçlar planlanan öğretme-öğrenme etkinliklerinde kullanılmalıdır (Ersoy, 2002). Örneğin, yapısalcı/oluşturmacı eğitim anlayışı açılımında öğrenci odaklı matematik etkinlikleri hazırlanmalı, öğretmenlerin gözetiminde bireysel ve küçük grup çalışmaları biçiminde uygulanmalıdır. Amaca uygun olarak ölçme araçları kullanılmalı, öğrencinin bilişsel ve duyuşsal gelişimi sürekli izlenmeli ve çok yönlü değerlendirilmelidir. Örneğin, ölçme ve değerlendirmede çoktan seçmeli testlerle yetinilmemelidir. Öğrenme sürecinde ve katıldığı  etkinliklerde öğrencinin bir takım öğrenme güçlükleri, başarısız olduğu durumlar olacaktır. Bunların belirlenmesi ve giderilmesi, öğrenme sürecinde öğrenciye yardımcı olunması ve rehberlik edilmesi, çağdaş eğitimin gereklerinden olduğu kadar yetkin bir öğretmenin de görevlerindendir.

Öğrencilerin öğrenme güçlüklerinin, bir çok nedeni bulunmaktadır. Örneğin, belli bir düzeyde matematik konularının öğrenilmesinde çocuğun zihinsel gelişimde bulunduğu aşama, bilginin zihinde yapılandırılma biçimi  önemli etmenlerdir. Bu süreçte ve Piaget'in belirlediği birbirini izleyen aşamalarde yanlış kurallama (mal-rule) oldukça yaygın olup ilk bakışta tanımlanamıyan bir çok yanılgılar da bulunmaktadır. Çoktan seçmeli testlerde, söz konusu yanlışlar belirlenebilse de yanılgıların ne olduğu ve nereden kaynaklandığı kolaylıkla anlaşılamamaktadır. Benzer sorularda ara işlemler incelendiğinde yapılan yanlışın örtüsü aralanmakta; böylece tanıya yönelik öğretim etkinliklerini tasarlamak, araçları hazırlamak ve geliştirmek mümkün olmaktadır. Yapılan yanlışlar, yalnızca bir değil birden çok yanlış kurallama ile açıklanabilmektedir. Özellikle, dikkatsizlik, savruk tahminler veya sürçmelerle oluşan yanlışlar, yanılgılardan ayırt edilmelidir (örneğin, Erbaş ve Ersoy, 2002). Dahası, geleneksel ölçme ve değerlendirme anlayışımızın bir sonucu olarak çoğu basit yanlışlar ve yanılgılar, öğrencinin başarısızlığı olarak değerlendiriliyor, yanlışları ve yanılgıları tanı (teşhis) ederek düzeltme yoluna gidilmediği veya gidilemediği için öğrenci yanlışlarını görme ve düzeltme fırsatını elde edemiyordur.  Bu nedenle, tanıya yönelik bir teste, yalnızca bir yanlış kurallamanın kullanıldığında yanıt olacak çoktan seçmeli sorular sorulmalıdır.

Daha açıkçası, Öğrenme sürecinde kesir kavramının oluşumu ve geliştirilmesi uzun zaman alır. Kesir kavramının anlaşılmasına eşit paylaşım problemi ile başlamak, çeşitli modeller kullanarak öğrenci odaklı etkinliklerle kavramı geliştirmek uygun olur. Öğrencilerin değişik durumlarda bir kesri anlayabilmeleri, yani kesrin değişik anlatımlarını kavrayabilmeleri için değişik problem durumlarıyla karşılaşmaları; kişisel deneyim kazanmaları etkili ve yararlı olur. Bu nedenle, gerek alan yazınındaki bilgilerden gerekse deneyimlerden yararlanarak yanılgılar belirlenmeli; tanıya yönelik bir öğrenme/ öğretme modeli veya ölçme söz konusu ise uygun öğretim materyali ve testler geliştirilmelidir. Örneğin, Kesirler ve Ondalık Kesirler konusunda yanlış kurallamaları listeleyerek her birini açıkça belirleyecek türde soru grupları oluşturulmalı; yapılan bir yanlışın ne ölçüde yinelendiği ve hangi öğrenci gruplarınca yapıldığı incelenmelidir. Bu süreçte, kuşkusuz bazı kuralların önceden belirlenmesi yararlı olur. Örneğin, yapılan yanlışın örneklem içinde kaç öğrenci tarafından kaç kez yapıldığı bir kural olabilir.  Şöyle: "Aynı yanlış, bir örneklemde %20'si tarafından benzer sorularda en az iki kez yapıldığında ..." gibi.

3.2. Öğretim Materyali Tasarlama ve Teknolijiden Yararlanma

Çağdaş ve etkili eğitimde uygun araç gereç kullanımı gereklidir ve bu alanda anlamlı gelişmeler olmuştur. Örneğin, Matematik öğretimi ve eğitimi alanında öğretmenlerin geliştirebileceği veya ticari firmaların hazırladığı bir takım araçlar, öğretim materyalleri bulunmaktadır (örneğin, Sowell, 1989; Ersoy, 2002).

Öğretim Materyali Tasarlama ve Geliştirme: Seçilecek bir öğrenme konusunun sınıf ortamında gerek bireysel gerekse grupla öğretiminde araç-gereçe gerekir. Öğretmenin yazı tahtası önünde sözel anlatımı, çizgilerle oluşturacağı şekiller, ilköğretim sınıflarında etkin değildir; ezbere öğretimin oluşmasına ortam hazırlayan nedenlerinden biridir.  Bu nedenle düzenlenecek tüm etkinliklerin, bir öğrenme kuramına dayandırılması, uygun stratejilerin izlenmesi, etkin yöntemlerin kullanılması gerekir. Öğrenme-öğretme etkinlikleri sürecinde bir takım öğretim materyali gerekli olup bunların öğretmen tarafından hazırlanması ve geliştirilmesi veya etkin ve yararlı olduğu konusunda emin olunan hazır öğretim materyalleri kullanılmalıdır. Bilinen bir dizi öğrenme ve öğretme kuramlarına, uygulamada izlenecek stratejiye göre tasarlanacak ve geliştirilecek öğretim materyalinin nitelikleri ve kullanış biçimi, öğrencide gözlemlenecek gelişmeler ve süreç sonunda kazanımlar birbirinden oldukça farklıdır. Örneğin, davranışçı ve bilişsel öğrenme kuramlarına dayalı etkinliklerin yapısal özellikleri, öğretim materyallerinin nitelikleri, öğretmen ve öğrenci rolleri birbirinden farklıdır.

Oluşturmacı/yapısallandırıcı (constractivism) yaklaşımla düzenlenen etkinliklerde ele alınan konularda çoklu temsil (somut nesneler ve araçlar, görsel resim ve şekiller, rakam, harf vb sembolik anlatımlar) öğrencilerin kendi bilgilerini yeniden yapılandırma ve etkin olarak paylaşmada öğrenme ortamlarının düzenlenmesi çok önemli olup öğrenci kazanımları geliştirilen öğretim materyalleri yardımıyla sağlanır. Öğrenme sürecinde öğrenci katılımcı ve etkin bir konumda iken öğretmen öğretim-öğrenme ortamını hazırlayan, düzenleyen ve yönlendirici bir konumdadır. Geleneksel anlayışa göre öğretmenin görevi ve işlevi değişmiştir; yeterlikleri farklıdır ve sorumluluğu artmıştır. Öğrenme sürecinde çeşitli araçların kullanılması eğitim ortamını zenginlştirmekte, öğrencileri güdülemekte ve isteklendirmektedir. Örneğin, hesaplama araçlarından hesap makinesinin matematik öğretimi etkinliklerinde kullanılması, incelenen konunun kavramsal yönünün anlamlarını zenginleştirmekte; ayrıca problem çözmede zaman kazandırdığından düşünmeye ayrılan zamanın daha yararlı kullanılmasına yardımcı olmaktadır. Bilişsel yönden farklı düzeyde olan öğrenciler, matematik çalışırken veya öğrenirken, değişik biçimde açıklamalara, farklı temsil etme yaklaşımlarına gereksinimleri olur, birbirinde farklı hızda öğrenirler. Öğrenmenin ve öğrenilen bilginin kalıcı olmasının sağlanmasında kuramsal bilgi aktarımının görsel etkinliklerle desteklenmesinin, etkileşimli bir öğrenme ortamının sağlanmasının büyük önemi vardır. Bu konuda son yıllarda bir takım çalışmalara başlanmış olup yakın bir gelecekte öğretmenlerin yararlanabileceği çok sayıda öğretim materyalinin geliştirilmesi beklenmektedir (örneğin, Çakmak, 2002; Çetin ve Ersoy, 2002; Güveli ve Güveli, 2002).

Teknolojiden Yararlanma: Öğretimde teknolojinin varlığı her geçen gün daha belirgenleşmekte, etkili bir biçimde kullanımı da zorunlu olmaktadır. Bu bağlamda, soyut kavram ve olguların algılanmasındaki güçlüklerin giderilmesinde somut araçlardan ve bilişim teknolojisinin olanaklarından yararlanılmalıdır. Bu amaçla, öğretmenin kendi gereksinimi olan araçların bir kısmını ve öğretim materyallerini kendisinin hazırlaması beklenir. Ancak, bunun etkili olarak gerçekleşebilmesi için öğretmenin bazı temel bilgi ve becerilere sahip olması, temel tüketim malzemelerinin el altında bulunması ve yeterli boş zamanın olması gerekir. Hizmetöncesi eğitimde öğretmen adayına söz konusu bilgiler verilmediğinden ve bazı beceriler kazandırılmadığından, ayrıca, bu konularda hizmetiçi eğitim etkinlikleri düzenlenmediğinden, öğretmenlerin hazır örnek öğretim materyallerini kullanması beklenebilir (Ersoy ve Başgün, 2000). Ancak, bu konuda da bazı eksikliklerin olduğu bir gerçektir. Örneğin, "Çağdaş Öğretim Teknolojileri ve Etkileşimli Öğretim Materyalleri" (Altun ve Göçmenler, 2000) adlı sunuda, MEB-Talim Terbiye Kurulu onaylı ve programlara uygun yazılı materyallerin olmadığı, olanların da  yetersiz ve yurt dışından getirilen çeviri (tercüme) yazılımlar olduğu  belirtilmiştir.


Öğretim materyalleri alanda uygulanarak ve değerlendirilerek geliştirilir. Tasarlanan ve hazırlandıktan sonra ilk uygulaması yapılan bir öğretim materyali, birden çok öğretmen tarafından değişik öğrenci gruplarının olduğu sınıflarda denenmeden, dönütler (feedback) alınmadan ve sonuçlar incelenmeden yaygın olarak kullanılmamalıdır. Bu bakış noktasından, hazırlanan öğretim materyalleri alanda bir kez uygulanmış olup ilk uygulama sonrası elde edilen ön-bilgiler tartışmaya açılmakta; öğretim materyalini sınıf ortamında denemek isteyen öğretmenlere bizimle birlikte çalışmaları için çağrı yapılmaktadır.

4.1. Öğrenme Güçlüklerine Dayalı Öğretim Materyali Geliştirme

Selçuk Üniversitesi (SÜ) Araştırma Fonu tarafından desteklenen "İlk ve Ortaokul Öğrencilerinin Sözel Problemlerin Çözümündeki Yanılgılarının Teşhisi", (Ardahan, Sulak vd, 1999)  ve "Sayıların Öğretiminde Yanılgıların Teşhisi ve Alınması Gereken Tedbirler" (Sulak, Ardahan vd, 1999) projelerde kullanılan  tanı (teşhis) testlerinden elde edilen bulgular; öğrencilerle ve  24 yılı aşkın deneyimi olan sınıf öğretmenleriyle yapılan  teyp-kayıtlı  görüşmelerden çıkan sonuçlara göre, Kesirler ve Ondalık Kesirler, ilköğretim öğrencilerinin anlamakta çok zorluk çektikleri konulardandır. Bu nedenle, bu iki konudaki belirlenen zorlukları ve yanılgıları ortadan kaldırmak amacıyla, yazarlardan H. Ardahan tarafından İlköğretim Matematik konularından iki üniteyle ilgili yapısalcı/oluşturmacı yaklaşımla etkileşimli öğretim materyali tasarlanmış; Konya'da Özel Diltaş İlköğretim Okulu'nda 28 kişilik, Or General Cemal Tural İlköğretim Okulunda 23 kişilik sınıflarda hazırlanan materyaller kullanılarak ilk iki ünitenin (Ünite 3: Kesirler; Ünite 4: Ondalık Kesirler) materyal destekli öğretimi yapılmıştır.

Daha açıkçası, tasarlanan ve geliştirilmekte olan öğretim materyalleri, oluşturmacı/ yapısalcılık (constructivism) yaklaşımına dayanan yarı somut/soyut türde olup bireysel ve grup çalışmalarına elverişlidir. Ayrıca, bu öğretim materyalleri, öğrencilerin kendi arasında öğrenci-öğretmen arasında etkileşimi olanaklıştıran özelliklere sahiptir. İlköğretim Matematiği 4. ve 5. Sınıflarda, Kesirler ve Ondalık Kesirlerle ilgili 4 hedef, her hedef için de bir dizi davranışları kazandıracak biçimde etkinlikler belirlenmiştir. Ayrıca, her iki ünitede yer alan konuların aritmetiksel dört işlem biçiminde uygulamaları ve problem çözme biçiminde diğer etkinliklerle tamamlanması ve genişletilmesi gerekmektedir. Bu çalışmada, Kesir ve Ondalık Kesirlerle ilgili temel kavramların geliştirilmesi öncelikli öğretim etkinlikler olarak planlanmış olup amaç, öğrencilerin temel bilgileri ve becerileri, yapısalcılık/oluşturmacı yaklaşımla, etkileşimli bir ortamda öğretmenin rehberliğinde edinmeleridir.  Bu amaçla sözkonusu öğretim materyalleri tasarlanmış ve alanda uygulanarak geliştirilmektedir. Örnek öğretim materyalleri CD kayıtlı olup her ilköğretim okulları sınıf, ünite ve konu düzeyinde olmak üzere kendi içinde gruplandırılmış; etkinlikler ise ayrı birer kodla adlandırılmıştır. Öğretmen için her bir etkinliğin hangi sınıfta, hangi ünite ve konun öğretiminde ne biçimde kullanılacağı, değerlendirmenin nasıl yapılacağı konusunda açıklamalara yer verilmiştir.

Öğretimin sonunda, materyallerin öğrencilere etkisini belirlemek amacıyla, standart materyal değerlendirme kriterlerini içeren  değerlendirme formu uygulanmış, öğrencilerin  görüş ve edindikleri izlenim yazılı olarak alınmıştır. Nisan 2002 ayı içerisinde,  bu iki ünitenin öğretiminde  en çok zorluk çekilen noktaları doğrulamak amacıyla bir ön-test, açıkçası "Kesir  Yanlışları/yanılgılar Tanı Testi (KeYeTaT) (teşhis testi) hazırlanmış ve Konya ili merkez  ilköğretim okullarındaki  104 öğrenciye  uygulanmıştır. Bu deneme ve değerlendirmelerden çıkan sonuçlara göre öğretim materyali  yeniden gözden geçirilerek bir sonraki aşamaya gelinmiş; öğretim materyali geliştirme süreci sürdürülmüştür. Geliştirilen bu yeni materyaller kullanılarak, 2001-02 öğretim yılı bahar yarıyılında 104 öğrencisi olan bir okulun 4 ilköğretim  sınıfında denenme sürmektedir. Elde edilecek veriler, daha ayrıntılı olarak analiz edildikten sonra rapor edilecektir.

Sözkonusu etkinliklerin bir kısmının, örneğin öğretim materyali tasarlama ve uygulama, araştırmacı eğitimcilerin öğretmenlerle birlikte alanda deneyerek geliştirmesi, öğrenme güçlükleri konusunda sınıf ve matematik öğretmenlerini bilgilendirmesi, olası çözümlerin birlikte kararlaştırılması, okullarda ve sınıflarda uygulamanın ise yardımlaşarak yapılması biçiminde olabilir.

4. 2. Öğretim Materyallerinin/Öğretimin Ön Değerlendirmesi

Kesirlerde ve ondalık kesirlerde kavram yanılgılarını  ve işlem  hatalarını gidermek amacıyla Dr Ardahan tarafından tasarlanan ve hazırlanan etkileşimli öğretim materyalleri, 1999- 2000 öğretim yılında bir özel ve bir de devlet okulunda olmak üzere bu  ünitelerin öğretiminde 51 öğrenci üzerinde denenmiştir.  Bu denemenin yansımaları oldukça  olumludur ve sonuçlar Çizelge 1'de, bazı  öğrenci görüşlerinden bazıları, örnek olarak aşağıda verilmiştir.

                    Yapılan dersler ve  materyal tabanlı öğretim hakkında 11-12 yaş öğrencilerinin yazılı görüşlerinden bazıları şunlardır.

  • ·         "Ben bu dersi beğendim. Bunun yapılmasını istiyorum."
  • ·         "Ben bu konuyu iyi anladım. Bu derimi beğendim. Hep böyle matematik dersi geçmesini isterim."
  • ·         "Güzeldi. Bazı bilmediğimiz konular oldu, ama öğrendik."
  • ·         "İyi bir konu tekrarı oldu. Ders çok güzel geçti."
  • ·         "Derste gördüğümüz uygulamalar, çok güzeldi."
  • ·         "Ders çok iyi geçti. Açıklarımı ve bazı bilmediğim konuları öğrendim."
  • ·         "Çok beğendim. Böyle gidelim öğretmenin. Çok iyi anlattınız. Teşekkür ederim."
  • ·         "Çok güzel sade ve anlaşılır. Öğrenciye verilen bilgi yeterli. Açıkça çok beğendim."
  • ·         "Kullanılan araçlar daha iyi olabilirdi. Beklemezdik. Ama ders anlatımı çok güzel."
  • ·         "Okula bilgisayar alınmasını çok ama çok istiyorum."             

            Çizelge 1. Öğretim Materyali hakkınfa Öğrencilerin Görüşleri


İyi  (%)

Orta (%) 

Kötü (%)

  • ·   Dersin Hedeflerine Uygunluğu




  • ·   Bilgilerin Doğruluğu




  • ·   İlginizi Çekme /Motivasyon




  • ·   Anlaşılırlık Düzeyi




  • ·   Teknik Kalitesi




  • ·   Katılımınızı Teşvik Etmesi




  • ·   Sadelik, Açıklık




  • ·   Etkili Olma Derecesi




·   Verilen Bilgi Miktarı




  • ·   Kullanım Kolaylığı




  • ·   Ön Yargı İçermemesi




  • ·   Matematik Dersleri Böyle Yapılsın




Çizelge 1'deki öğrenci görüşlerine bakıldığında, öğrencilerin %90'dan daha çoğu, öğretim materyallerinin analışılırlık düzeyi, sadelik ve açık oluşunu belirterek matematik derslerinde konuların öğretiminin yeni uygulama biçiminde yapılması görüşünü benimsemekteler.


Bu incelemenin konusu, ilköğretim öğrencilerin öğrenme güçlükleriyle ilgili olarak Kesir ve Ondalık Kesirlerin öğretiminde kullanılabilecek bir takım etkileşimli öğretim materyallerinin tasarımı ve geliştirilmesiyle ilgilidir. Daha açıkçası, bu incelemede deneyimli öğretmen görüşlerinden ve alan yazınındaki bilgilerden yola çıkarak, Konya il merkezinde bir grup ilköğretim öğrencisinin Kesir ve Ondalık Kesirlerin öğrenilmesinde tanıya yönelik öğretme-öğrenme etkinliklerinin neler olabileceği açıklanmakta; geliştirilen ve sınıfta uygulanan örnek öğretim materyalleri hakkında bir grup öğrenciden alınan tepkiler yansıtılmaktadır. Bu çalışmanın nedeni, oldukça açık olup denek ilköğretim öğrencileri, Kesirler ve Ondalık Kesirler konularını  öğrenmede güçlüklerle karşılaşmaktalar  ve  yerleşik yanılgılara sahiptirler (Ardahan ve Ersoy, 2002). Örneğin, inceleme sonuçlarına bakıldığında:

  • ·    Denek ilköğretim öğrencilerinin %66'sı,  birim kesir kavramını tam anlamamış olup öğrencilerin %71'i  kesirlerin toplanmasını ve çıkarılmasını birlikte içeren sayı doğrusu modelini ifade edemiyor.
  • ·   İlköğretim öğrencilerinin % 100' ü,   ondalık bir sayının  ondalık kesir kısmındaki bir basamağın basamak değerini, ondalık kesirlerde denklik kavramını açıklayamıyor.
  • ·   Denek ilköğretim öğrencilerinin %99'u,  ondalık kesirlerin toplanmasını ve çıkarılmasını birlikte  içeren sayı doğrusu modelini ifade edemiyorlar.


Bu denemeler gösteriyor ki ilköğretim öğrencilerinin Kesir ve Ondalık Kesirleri öğrenmede bir takım güçlükleri, yaptıkları ortak yanlışlar ve bunların gerisinda bir dizi kavram yanılgıları bulunmaktadır. Bu nedenle, öğrenci grubunun  hazır oluş  durumuna, yerleşik yanılgılarına  göre, araç-gereç, etkileşimli öğretim materyalleri, çalışma yaprakları, somut modeller tasarlayıp sınıf ortamında bunların kullanılması, bir öğrenme-öğretme modeline uygun olarak kurgulanıp uygulanması gerekmektedir.  Bu bağlamda, öğrenci çalışma yaprakları ve grup çalışmaları gibi öğrenciyi öğrenme sürecinde daha etkin yapan, öğrencilerin yanılgılarının ortaya çıkmasına ve belirlenmesine, daha sonra da düzeltilmesine fırsat ve  olanak sağlayan öğretim yöntemleri yeğlenmelidir. Ayrıca, etkin öğretim teknolojileri, örneğin bilgisayar ve hesap makinesi,  yapısalcı öğretim modeli  kullanılarak  anlamlı ve  kalıcı öğrenme  sağlananabilir.




Altun, E. ve Göçmenler, G. ( 2000)  "Çağdaş Öğretim Teknolojileri ve Etkileşimli Öğretim  Materyalleri".  IV.Ulusal  Fen Bilimleri Eğitimi Kongresi (UFEK-4) Bildiri Kitabı (6-8 Eylül 2000), Hacettepe Üniversitesi, Beytepe, Ankara     

Ardahan, H. Sulak, H. ve ark, (1999) İlk ve Ortaokul Öğrencilerinin Sözel Problemlerin Çözümündeki Yanılgılarının  Teşhisi, Selçuk Üniversitesi Araştırma Vakfı Projesi, 1996-1997,  Proje No: 96/122, Konya.

Ardahan, H. ve Ersoy, Y. (2002). "İlköğretim Okullarında Kesirlerin Öğretimi-I: Öğrencilerin Öğrenme Güçlükleri ve Ortak Yanlışları" Matematik Etkinlikleri-2002 Bildiri Kitabı (Düzenleme: O. Çelebi, Y. Ersoy, G. Önel). Ankara: Matematikçiler Derneği Yay.

Baki, A. (1999). "Cebirle ilgili işlem yanılgılarını değerlendirme". 3. Ulusal Fen Bilimleri Eğitimi Sempozyumu (23-25 Eylül 1998, KTÜ, Trabzon) Bildiri Kitabı 46-49. Ankara: MEB Yay.

Başgün, M., Ersoy, Y. (2000). "Sayılar ve Aritmetik- I: Kesir ve Ondalık Sayıların Öğretilmesinde Bazı Güçlükler ve Yanılgılar". IV. Fen Bilimleri Eğitimi Kongresi' 2000 Bildiri Kitabı;  s: 604-608. 6-8 Eylül 2000, Ankara: MEB Yay.

Çakmak, M. (2002). "İlköğretim 1. Kademede Matematik Öğretiminde Materyal Kullanımı: Öğretmenler ve Öğrenciler Arasından Değerlendirme".5. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi Bildiri Özet Kitabı, s. 217. 16-18 Eylül 2002, ODTÜ, Ankara.

Cankoy, O. (2000). "Öğretmen Adaylarının Ondalık Sayıları Yorumlarken ve Uygularken Sahip Oldukları Kavram Yanılgılarının Belirlenmesi", 6-8 Eylül 2000, UFEK-4 Bildirileri, Hacettepe Üniversitesi, Ankara.

Çetin, Y. Ve Ersoy, Y. (2002). "Lise sınıflarında logaritma öğretimi-I: Öğrenme güçlükleri ve etkinlik örnekleri". 5. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi Özetler Kitabı, s. 193. 16-18 Eylül 2002, ODTÜ, Ankara.

EARGED (1995). İlköğretim (5+3) Matemetik Programını Değerlendirme Raporu. Ankara: MEB-EARGED Yay. (Hizmete Özel), 1995.

EARGED (1997). Öğrencilerin Matematik Dersi Öğretim Programının Amaç ve Davranışlarına Ulaşma Düzeyinin Sınıf ve İllere Göre Durumu, Ankara: MEB-EARGED Yay. (Hizmete Özel), 1997.

EARGED (1998). Fen Bilgisi ve Matematik Durum Tespit Ara Raporu. Ankara: MEB-EARGED Yay. (Hizmete Özel), 1998.

Erbaş, K. A. ve Ersoy, Y. "Dokuzuncu sınıf öğrencilerinin eşitsizliklerin çözümündeki başarıları ve olası kavram yanılgıları". 5. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi Özetler Kitabı, s. 225. 16-18 Eylül 2002, ODTÜ, Ankara.

Ersoy, Y.  (2000) "Son dönemde okullarda matematik/fen eğitiminde çağdaş gelişmeler ve genel eğilimler". DEÜ Buca Eğitim Fak. Dergisi 12, 235-246.

Ersoy, Y. (2001). "Bilişim Teknolojileri ve Eğitim-I: Okullarda Matematik Öğretimine Yansımalar". Çağdaş Eğitim, Kasım 2001/281; 8-12.

Ersoy, Y. ve Başgün, M. (2000). "Sayılar ve Aritmetik- II: Hesap Makinesi Kullanarak Kesir Sayıların Öğretimi". IV. Fen Bilimleri Eğitimi Kongresi'2000 Bildiri Kitabı;  s: 598-603. 6-8 Eylül 2000, Ankara: MEB Yay.

Ersoy, Y.  (2002) "Matematik Öğretiminde Eğitsel Araçlar- I:Genel Bir Bakış ve Bazı Düşünceler". Matematik Sempozyumu Kitabı-2001; s: 42-53; (Düzenleme: O. Çelebi, Y. Ersoy, G. Önel).Ankara: Matematikçiler Derneği Yay.

Güveli, E. ve Güveli, H. (2002). "Lise 1 fonksiyonlar konıusunda Web tabanlı örnek bir öğretim materyali". 5. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi Özetler Kitabı, s. 195. 16-18 Eylül 2002, ODTÜ, Ankara.

Haser, Ç. ve Ubuz, B. (2000). "İlköğretim 5. sınıf öğrencilerinin kesirler konusunda Kavramsal anlamda ve işlem yapma performansı", 6-8 Eylül 2000, UFEK-4 Bildirileri Kitabı, Hacettepe Üniversitsi, Ankara

Hiebert, J. (1984). "Children's mathematics learning: the struggle to link form and nderstanding". The Elementary School Journal 84 (5), 497-513.

İşeri, A. (1997). Diagnosis on Students' Misconceptions on Decimal Numbers, (yayınlanmamış master tezi), ODTÜ, Ankara.

Kerslake, D. (1986). Fractions: Children's Strategies and Errors: A Report of the Strategies and Errors in Secondary Mathematics Project. Windsor: NFER-Nelson.

Malcolm, P. S. (1987). "Understanding Rational Numbers". Mathematics Teachers, 80, 518-521.

NAEP (1983). The Third National Mathematics Assessment: Results, Trends and Issues. National Assessment of Educational Progress (NAEP). Denver: Education Commission of the States

Olkun, S. ve Toluk, Z. (2001). İlköğretimde Matematik Öğretimi: 1-5 Sınıflar.  Ankara: Artım Yay.

Piaget, J. (1953). "How children form mathematical concepts". Scientific American, 189 (5), 74-79.

Post, T. (1989). "Fractions and Other National Numbers". Arithmetic Teacher, 37, 3, 28.

Skemp, R. R. (1971). The Psychology of Learning Mathematics. Harmondsworth: Penguin.

Sowell, E. J. (1989). "Effects of manipulative materials in mathemetics instruction". J. Research in Mathematic Education, 20 (Nr 5), 498-505.

Sulak, H. ve Ardahan, H. (1999). Ondalık Kesirlerin Öğretimindeki Yanılgıların Teşhisi ve  Alınması Gereken Tedbirler. Selçuk Üniversitesi Araştırma Vakfı Projesi, 1996-1997, Proje No: 96/123,  Konya.

Sweetland, R. (1984) "Understanding Multiplication of Fractions". Arithmetic Teacher, 32, 48-52.

Toluk, Z. (2000). "İlkokul öğrencilerinin rasyonel sayıların bölüm kavramını kavramlaştırma süreçleri". 6-8 Eylül 2000, UFEK-4 Bildirileri Kitabı, Hacettepe Üniversitesi, Ankara

Verschaffel, L. ve De Corte E. (1996). "Numbers and Arithmetic". International Handbook of Mathematics Education, Part 1, Chapter 3, sf. 99-137.

Vygotsky, L. S. (1978). Mind and Society: The Development of Higher Psychological Processes. Cambridge, Mass.: Harvard University Press.

Yaşar Ersoy  ve Halil Ardahan

ODTÜ Eğitim Fakültesi/ Emekli Öğretim Üyesi, 06531 Ankara

Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi, 42090 Konya